|
Так же как мы идентифицировали пять сетей для обоев, отмечая положение точек, в которых потом можно расположить мотивы, мы проделаем это и для элементарных ячеек. Результирующие расположения точек, допустимые в трех измерениях, называются решетками Браве , в честь французского альпиниста, искателя приключений и физика Огюста Браве (1811-63), который первым составил их перечень в 1850 г. Оказалось, что их существует всего четырнадцать (рис. 6.5). Где бы вы ни увидели объекты, сложенные вместе для заполнения пространства регулярным образом, такие как консервные банки в ящиках, слои яиц в корзинках и фрукты в витринах, они все соответствуют одному из этих четырнадцати расположений. Рис. 6.5. Трехмерными аналогами сетей для обоев являются решетки Браве. В трех измерениях существует четырнадцать решеток Браве. Можно прикреплять к каждой точке объекты различными способами, но таких способов существует не более 230. Так же как мы можем получить семнадцать основных видов обоев, помещая различными способами в сеть точек мотив (вертикальные павлины, чередующиеся павлины и так далее), мы можем прикрепить мотив (такой, как рисунок на крышке спичечного коробка или способ, которым в нем уложены спички) к каждой точке решетки Браве. Тщательное рассмотрение возникающих здесь узоров показывает, что существует всего 230 возможных способов их организаций . Я осознаю, что слово «всего» здесь кажется не очень уместным; но дело в том, что это число конечно и определено точно: это число не равно 228 или 229; оно в точности равно 230. Эти способы организации называются пространственными группами. Все возможные трехмерные, заполняющие пространство периодические структуры соответствуют этим 230 пространственным группам. Упаковка одинаковых, недекорированных спичечных коробков со спичками, указывающими в одном направлении, соответствует одной пространственной группе, а упаковка тех же спичечных коробков тем же способом, но со спичками в соседних коробках, указывающими попеременно в разных направлениях, соответствует другой пространственной группе. Бакалейщик, выкладывающий на витрине апельсины, бессознательно моделирует способы, которыми природа складывает вместе атомы, чтобы получить кристаллы, и именно здесь симметрия и вдыхающие в нее жизнь пространственные группы становятся важным орудием исследования и классификации. Во-первых, мы можем увидеть в витрине бакалейщика, что из однородно уложенных сфер может возникнуть поверхность, близкая к плоской. Плоская поверхность отдельного кристалла металлического элемента, например цинка или меди, представляет собой одну из поверхностей такого рода. Здесь не место входить в детали того, как именно атомы и молекулы пакуются вместе, чтобы дать в результате один из 230 возможных способов организации, допускаемых симметрией, но небольшой привкус этого все же получить можно. — 135 —
|