Десять великих идей науки. Как устроен наш мир

Рис. 6.2. Эти формы символизируют пять узоров фриза, допустимых в одномерном случае. Существуют различные мотивы, поскольку квадрант, показанный здесь в различных ориентациях, может быть заменен любым рисунком, но эти пять узоров исчерпывают все возможные регулярные фризы.

Это лишь первый проблеск тех головокружительных глубин, в которые может проникать теория групп. Упоминание о колоссальном интеллектуальном прыжке (к которому я намерен подвести вас более маленькими шагами по мере разворачивания этой главы, но сейчас будет полезно узнать, куда мы направляемся), может быть, даст нам возможность согласиться с тем, что, так же как симметрия ограничивает число возможных структур в пространстве, может оказаться, что симметрия пространства-времени — что бы это ни означало — ограничивает число типов элементарных частиц, которым позволено существовать. Симметрия ставит пределы.

Пока архитектура проходила путь от греческого храма до бунгало, она пришла в упадок настолько, что, упразднив требование антаблемента и фриза, открыла дорогу обоям. Узоры на обоях тянутся бесконечно в двух измерениях, и вариации этих узоров — ленточки, розочки, павлины — и их цвета заполняют рекламные буклеты декораторов интерьера и производителей обоев. Однако теория групп открывает ужасную правду: существует только семнадцать вариантов обойных узоров .

Мы можем выразиться несколько более точно. Под словом сеть мы будем понимать совокупность точек, которые представляют места расположения павлинов или чего-то еще, чему вкус предписывает быть мотивом узора. Узор обоев является комбинацией мотива и сети. Так, все павлины в чередующихся точках сети могут сидеть вертикально, или в этих точках могут чередоваться павлины, сидящие прямо и павлины опасным образом опрокинутые. Учитывая эту разницу, теория групп показывает, что существует только пять типов сети и семнадцать комбинаций сети и мотива (рис. 6.3). Будет интересным упражнением исследовать обои в комнатах, которые вы посещаете, узор брусчатки дворов, которые вы пересекаете, черепицу на крышах или даже узор (если он периодичен) вашего галстука, чтобы определить вашу способность идентифицировать сеть (это обычно легко) и общий узор (что более головоломно, так как некоторые мотивы являются весьма изощренными). Вы никогда не обнаружите периодический узор, который не был бы одним из набора семнадцати узоров, определенного в теории групп как полная Вселенная дизайна обоев.

Рис. 6.3. Эти узоры показывают пять видов сетей, возможных для двумерных обоев. Для получения реального рисунка к каждой точке можно прикрепить образ, но даже тогда оказывается, что существует всего семнадцать возможных схем.