Десять великих идей науки. Как устроен наш мир

Как мы видели в других контекстах, бывает всегда забавно, а иногда и полезно, расширять наше воображение до более высоких размерностей. Это расширение иногда существенно важно, как в случае, когда мы рассматриваем четыре измерения пространства-времени. Тогда возникает вопрос, сколько узоров может быть обнаружено в пространствах более высоких размерностей. Математики исследовали этот вопрос. В четырехмерном пространстве существуют «всего» 4783 пространственные группы, поэтому пятимерные существа (которым нужны четырехмерные обои для украшения своих гиперкубических комнат) найдут гораздо более широкое разнообразие узоров в своих обойных гипермаркетах, чем мы, существа трехмерные.

Не все симметрии очевидны, и именно поэтому я хочу подтолкнуть вас к тому, чтобы вы приобрели способность оценивать красоту более высоких абстракций. С этого момента наше обсуждение неизбежно становится более абстрактным, а понятия более трудно представимыми визуально; но мы будем пускать в обращение эти замысловатые трудности постепенно и с осторожностью, и вы с удовольствием обнаружите, что все можете понять. Здесь мы увидим, что симметрия больше не является наглядной, но зато становится могущественной, ибо она является источником законов. Симметрия ведет.

Мы уже видели пример ведущей и контролирующей роли симметрии. Мы видели в главе 3, что сохранение энергии является следствием однородности времени. Следствием того, что время является гладким, не состоящим из кусков — более формально, время является трансляционно инвариантным, — является то, что энергия сохраняется. Мы видели также, что сохранение импульса является следствием гладкости пространства — того, что пространство трансляционно инвариантно при отсутствии сил — и что сохранение момента импульса является следствием изотропности пространства — того, что пространство инвариантно относительно вращений при отсутствии вращающих моментов. Отсутствие кусковатости у пространства и времени является проявлением их симметрии, поэтому мы видим, что эти могущественные законы сохранения вытекает из симметрии. Эмми Нётер (1882-1935), наиболее выдающаяся и авторитетная из когда-либо родившихся на свет женщина-математик, установила результат огромной важности, известный теперь, как теорема Нётер, о том, что там, где существует симметрия, всегда есть соответствующий ей закон сохранения.

Некоторые симметрии скрыты от прямого наблюдения, но все равно имеют соответствующие им следствия. Теперь все, что я попрошу вас делать, это отмечать совпадения и задавать себе вопрос, не являются ли они следствием симметрии. Знаком того, что под поверхностью явлений скрывается симметрия, является точное равенство энергий различных конфигураций частиц: если две конфигурации связаны преобразованием симметрии, то энергия этих двух конфигураций одинакова. Мы столкнулись с особенно подходящим примером в главе 5, когда увидели, что в атоме водорода энергия электрона, который находится на s -орбитали, является точно такой же, как энергия электрона, находящегося на p -орбитали той же оболочки. s -орбиталь является сферической, а p -орбиталь имеет две доли, поэтому, хотя легко увидеть, что p -орбиталь можно повернуть и получить другую p -орбиталь, совсем не очевидно, что p -орбиталь можно повернуть так, чтобы получить s -орбиталь. Я уже упоминал, что потенциальная энергия — энергия, связанная с положением электрона в электрическом поле ядра, так называемая кулоновская потенциальная энергия — является в некотором специальном смысле красивой, и теперь я могу объяснить, что я имею в виду.