|
Рис. 4.6. Первый класс Черна для двухмерных поверхностей, подобных этой, совпадающий с эйлеровой характеристикой, относится к точкам, в которых поток векторного поля полностью останавливается. На поверхности сферы, например глобуса, таких точек две. К примеру, если течение направлено с северного полюса на южный, как на изображенной слева сфере, то на каждом из полюсов суммарный поток будет равен нулю, поскольку в данных точках векторы будут взаимно компенсировать друг друга. Аналогично, если течение направлено с запада на восток, как на сфере, изображенной справа, также возникнут две точки остановки движения — на северном и южном полюсах, — в которых ничто не движется, поскольку само понятие востока и запада для этих точек отсутствует. Противоположным примером является поверхность бублика, на которой жидкость может течь как в вертикальном (на изображенном слева бублике), так и в горизонтальном направлении (на бублике, изображенном справа), не встречая при этом ни малейших препятствий. Именно поэтому первый класс Черна равен нулю для бублика, в котором сингулярные точки отсутствуют, но не равен нулю для сферы Как вы уже могли догадаться, это означает, что ранее рассмотренный пример с двухмерной сферой, через северный полюс которой проходит касательный вектор, совершенно нам неинтересен, поскольку данный вектор содержится только в одной касательной плоскости. В этом случае кривизна Риччи представляет собой просто кривизну в двухмерном направлении этой плоскости, которая, в свою очередь, совпадает с гауссовой кривизной сферы, — для сферы единичного радиуса эта кривизна будет равна единице. Но при переходе к более высоким размерностям, число комплексных измерений для которых больше одного или число вещественных измерений больше двух, возникает весьма широкий выбор касательных плоскостей, и, как следствие, многообразие может быть риччи-плоским, не будучи при этом плоским во всех своих точках, то есть, будучи риччи-плоским, оно может иметь отличную от нуля кривизну в двухмерном направлении и отличную от нуля гауссову кривизну. Рис. 4.7. Определение первого класса Черна для конкретного объекта сводится к нахождению точек, в которых поток векторного поля обращается в нуль. Подобные точки можно обнаружить в центре воронки, например в центре урагана, который представляет собой имеющую круговую форму область спокойной погоды, от 2 до 200 миль в диаметре, окруженную одними из наиболее грандиозных атмосферных явлений. На фотографии запечатлен ураган Фран 1996 года, как раз перед тем, как он опустошит Восточное побережье Соединенных Штатов, принеся миллиарды долларов убытка (фотография Хаслера, Честера, Грисволда, Пирса, Паланнаппана, Маньина, Суммея, Стара, Кенитцера & де Да Бюжардере, Лаборатория по изучению атмосферы, Центр космических полетов доктора Годдарда, НАСА) — 93 —
|