Кривизна в двухмерном направлении полностью определяет риманову кривизну, которая, в свою очередь, содержит в себе всю возможную информацию о кривизне поверхности. В четырехмерном случае для описания кривизны необходимы двадцать чисел, для более высоких размерностей — еще больше. Тензор римановой кривизны может быть представлен в виде суммы двух слагаемых — тензора Риччи и так называемого тензора Вейля, на котором мы подробно останавливаться не будем. Главное, что из двадцати чисел, необходимых для описания римановой кривизны в четырехмерном случае, десять описывают кривизну Риччи и десять — кривизну Вейля. Тензор кривизны Риччи, являющийся ключевым составляющим известного уравнения Эйнштейна, характеризует влияние материи и энергии на геометрию пространства-времени. По сути дела, левая часть этого уравнения представляет собой так называемый тензор Эйнштейна — модифицированный тензор Риччи, тогда как в правой части находится тензор энергии-импульса , описывающий плотность и поток материи в пространстве-времени. Иными словами, уравнение Эйнштейна связывает поток плотности материи и импульс в данной точке пространственно-временного континуума с тензором Риччи. Поскольку тензор кривизны Риччи является только частью общего тензора кривизны, как уже говорилось выше, невозможно определить кривизну в целом только на основании этого тензора. Надежду на определение кривизны пространства-времени дает нам знание глобальной топологии. В частном случае, когда масса и энергия равны нулю, уравнение сводится к следующему: тензор Эйнштейна = 0. Это так называемое уравнение Эйнштейна для вакуума, и хотя на первый взгляд оно может показаться простым, не следует забывать, что это уравнение является нелинейным дифференциальным уравнением в частных производных, которые почти никогда не решаются просто. Более того, уравнение Эйнштейна для вакуума на самом деле представляет собой систему из десяти нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных, поскольку тензор состоит из десяти независимых коэффициентов. Это уравнение очень похоже на гипотезу Калаби, которая предполагает равенство нулю кривизны Риччи. Нет ничего особо удивительного в том, что оно имеет так называемое тривиальное решение, которое не представляет никакого интереса: пространственно-временной континуум, в котором нет ни материи, ни гравитации и в котором в принципе ничего не происходит. Однако существует и более интригующая возможность и именно о ней идет речь в гипотезе Калаби: может ли уравнение Эйнштейна для вакуума также иметь и нетривиальное решение? И ответ на этот вопрос, как мы увидим в свое время, утвердительный. — 94 —
|