|
Пожалуй, наиболее простым способом описания гомологической зеркальной симметрии является описание в терминах D-бран, хотя идея Концевича опередила их открытие на год или два. Физики представляют себе D-браны как подповерхности, к которым должны крепиться концы открытых струн. Теория гомологической зеркальной симметрии предсказывала существование D-бран, давая весьма детальное описание этих объектов, ставших одними из важнейших составляющих теории струн, точнее, М-теории, после второй струнной революции. В общем, это знакомая история, когда физическое открытие, в данном случае — зеркальная симметрия, дает толчок развитию математики, а математика, в свою очередь, сполна рассчитывается перед физикой. Одной из главных идей, лежащих в основе гомологической зеркальной симметрии, является идея существовании двух различных типов D-бран — А-бран и В-бран . Эти термины введены Виттеном. Для зеркальной пары многообразий Калаби-Яу X и X' А-брана на многообразии X будет совпадать с В-браной на многообразии X'. Это краткое определение, по словам Эспинволла, «дало возможность математикам строго сформулировать понятие зеркальной симметрии. Из этой формулировки уже можно было получить все остальное»[121]. Как говорит Майкл Дуглас, физик из Университета Стоуни-Брук, «представьте, что у вас есть два конструктора, детали которых имеют различную форму. Однако набор моделей, которые вы можете из них собрать, один и тот же»[122]. Это полностью аналогично соответствию между А-бранами и В-бранами, заявленному в теории гомологической зеркальной симметрии. А-браны представляют собой объекты, описываемые в рамках так называемой симплектической геометрии , тогда как В-браны являются предметом исследования алгебраической геометрии . Мы уже слегка касались алгебраической геометрии, говоря о том, что она позволяет описывать геометрические кривые в алгебраических терминах и решать геометрические задачи при помощи алгебраических уравнений. Симплектическая геометрия содержит ключевое для многообразий Калаби-Яу (и не только для них) понятие кэлеровой геометрии . В то время как пространства в дифференциальной геометрии обычно описываются симметричным относительно диагонали метрическим тензором, в симплектической геометрии метрика симметричной не является — при переходе через диагональ знаки изменяются. «Эти две области геометрии рассматривались как совершенно отдельные, поэтому стало большой неожиданностью, когда обнаружилось, что алгебраическая геометрия одного пространства эквивалентна симплектической геометрии другого, — говорит Эспинволл. — Соединение двух различных областей, установление того, что они в определенном смысле связаны через понятие зеркальной симметрии, можно считать одним из крупнейших событий в математике, потому что теперь методы, разработанные для одной области, можно применять и в другой. Обычно это в буквальном смысле устраняет все препятствия на пути, в конце которого вас ждет медаль Филдса».[123] — 161 —
|