|
Теперь попробуем собрать воедино все идеи, выдвинутые ранее, начиная с нашего двухмерного примера. Заменив радиусы всех подмногообразий (окружностей) на 1/r , вы обнаружите, что многообразие, состоящее из этих окружностей, изменит свой радиус, но все равно останется тором. Данный пример называют тривиальным, поскольку многообразие и его зеркальный партнер топологически идентичны. Четырехмерный пример с K3-поверхностями также является в некотором отношении тривиальным, поскольку все K3-поверхности топологически эквивалентны. Шестимерный пример с трехмерными многообразиями Калаби-Яу намного интереснее. Компонентами этого многообразия являются трехмерные торы. T-дуальность заменяет их радиусы на обратные. Для несингулярного тора изменение радиуса не приводит к изменению топологии. Однако по словам Гросса, «даже если все исходные подмногообразия принадлежали к числу “хороших” [несингулярных], изменение радиуса все же может повлечь за собой изменение топологии многообразия в целом, поскольку части… могут быть собраны вместе нетривиальным образом».[115] Это утверждение проще всего понять при помощи аналогии. Взяв набор линейных сегментов или, например зубочисток, можно сделать из них цилиндр, втыкая их определенным образом в кружок из пробки. Вместо цилиндра, имеющего две стороны, из тех же зубочисток можно сделать и одностороннюю ленту Мёбиуса, втыкая их под небольшим углом друг к другу. Итак, из одних и тех же частей (подмногообразий) можно получить объекты с совершенно разной топологией.[116] Дело в том, что, проведя преобразование T-дуальности и используя различные методы сборки подмногообразий, мы получим два топологически различных многообразия, идентичных с точки зрения физики. Это часть того, что мы подразумеваем под зеркальной симметрией, но это далеко не все, поскольку другая важная особенность T-дуальности состоит в том, что зеркальные пары должны иметь эйлеровы характеристики противоположных знаков. Однако все многообразия, рассмотренные здесь — особые лагранжевы многообразия, — имеют эйлеровы характеристики, равные нулю, которые не изменяются при замене радиусов на 1/r . Все сказанное выше выполняется для «хороших» (несингулярных) подмногообразий, а для «плохих» (сингулярных) работать не будет. В таких подмногообразиях T-дуальность приведет к изменению знака эйлеровой характеристики с +1 на -1 и наоборот. Предположим, что исходное многообразие включает тридцать пять плохих подмногообразий, двадцать пять из которых имеют эйлерову характеристику, равную + 1, а десять — равную -1. Как показал Гросс, эйлерова характеристика многообразия является суммой эйлеровых характеристик входящих в него подмногообразий — в данном случае она будет равна + 15. В зеркальном многообразии все будет наоборот: двадцать пять подмногообразий будут иметь эйлерову характеристику, равную -1, а десять — +1, что даст в результате -15 — величину, противоположную эйлеровой характеристике исходного многообразия — что как раз и было нам нужно. — 159 —
|