Принцесса или тигр?

Крейг и Мак-Каллох тут же занялись этой задачей.

- Ну, конечно,— рассмеялся вдруг Крейг.— Это же очевидно вытекает из того, что совсем недавно показы вал мне Мак-Каллох.

А вы можете найти эти числа?

—Теперь,—сказал Фергюссон,—для любого числа А существуют такие числа X и У, что X порождает У, а число У порождает АХ. Если число А нам задано, то

Стр. 145

можете ли вы найти числа X и У? Например, можете ли вы найти такие X и У, чтобы X порождало У, а У порождало 7X7

— Мы все еще пользуемся только правилами 1 и 2 или уже можно применять правила 3 и 4?— спросил Крейг.

— Вам понадобятся только правила 1 и 2,— ответил Фергюссон.

— Я уже нашел решение! — тут же заявил Крейг.

4.— Интересно,— сказал Мак-Каллох, просмотрев решение Крейга.— А у меня решение другое.

Действительно, в этой задаче существует и второе решение. Можете ли вы его найти?

5.— Ну, а теперь,— сказал Фергюссон,— мы добрались до действительно важного свойства. Так, из одних только правил 1 и 2 следует, что для любых чисел А и В существуют такие числа X и У, при которых X порождает АУ, а У порождает ВХ. Например, существуют такие X и У, что X порождает 7 У, а У порождает 8X. Не можете ли вы найти эти числа?

6.— Из последней задачи, — сказал Фергюссон,— со всей очевидностью следует (правда, из второго принципа Крейга это получается еще более просто), что для любых операционных чисел М и N должны существовать такие числа X и У, при которых X порождает M(Y), а У порождает N(X). Причем это оказывается справедливым не только для данной машины, но и для любой машины, в программу работы которой включены правила 1 и 2. С помощью вашей теперешней машины можно, например, найти такие X и У, при которых число X порождает обращение числа У, а число У порождает ассоциат числа X.

Сумеете ли вы их найти?

7.— Это страшно интересно,— сказал Фергюссону Мак-Каллох, когда они с Крейгом решили последнюю задачу.— Но у меня возник вот какой вопрос: подчиняется ли моя машина «двойному» аналогу второго принципа Крейга? Иначе говоря, если заданы два операционных числа М и N, а также два произвольных

Стр. 146

числа А и В, то обязательно ли существуют такие числа X и У, при которых X порождает M(AY), а У порождает N(BX)

— Ну, конечно,— подтвердил Фергюссон.— Например, существуют такие числа X и У, при которых число X порождает повторение 7 У, а число У порождает обращение 89X.

Не могли бы вы найти эти числа?

8.— Я подумал еще вот о чем,— сказал Крейг.— Если имеется некоторое операционное число М и произвольное число В, то обязательно ли должны существовать такие числа X и У, при которых X порождает М(Y), а У порождает ВХ? Например, существуют ли такие X и У, при которых число X порождает ассоциат У, а число У порождает число 78 X?