Фигуры Вселенной. От Менделеева до Джанибекова

Чтобы установить различие в поведении физической характеристики, появляющееся при переходах от одного формализма (взаимозависимость Re ? и Im ?) к другому формализму (независимость Re ? и Im ?), вычислим и отобразим поведение ?, используя не формулу (3.15), а при тех же константах выражение:

где Т = Т0cos(kr – ?t).

При малости аргументов ? тригонометрические функции f(?) можно было бы разложить по степеням ? с точностью до второго порядка. Но тогда для r получится уравнение шестого порядка, которое в радикалах не разрешается. Математические силовики Античности – Пифагор, Евклид, Евдокс, Платон, а также, возможно, философы Софокл, Прокл, Аристокл, Эмпедокл и, наверняка, Пиррон могли бы решить эту задачу. Ведь это древние придумали проблему квадратуры круга и разминку с делением угла на три равные части (трисекция угла). Но «мы пойдем своим путем», а именно: в этом случае после построения окружности Уиллера и ее фиксации для поиска зависимости r = r(?) применим метод последовательных приближений. Для этого нужно создать программу поиска функции r(?), обеспечивающую быструю сходимость и хорошую точность вычислений. Сначала, при заданных константах, на плоскости E(r, ?) определим рельеф формулы

где A = . Затем проведем по рельефу изоуиллероиду = R 2. Рельеф функции L? мы видим на рис. U, a), а на рис. U, б) – его срез. Pr. KAR-Int. По виду рельефа можно сделать вывод, что срез крайне многосвязный, состоит из множества особенностей. Такова специфика определения геометрии в пространстве, нагруженном физическими процессами. Но полученная картина – не предтеча к переходу к так называемому «управляемому хаосу», поскольку для описания физических процессов были использованы только элементарные функции. В действительности физические явления описываются регулярными функциями лишь в результате выделения их наиболее простых свойств, на основе формульного абстрагирования и численными методами. А число – одна из вершин абстрактной деятельности человека. Но если всё в физическом мире считать хаотичным, то закономерности придется искать уже статистическими методами. С другой стороны, очевидные абстракции, к которым прибегает исследователь, есть уже наведенные статистики, полученные в результате больших опытных данных. Пример же не слишком «спонтанной» функции приведен в Приложении 3.

Далее нужно составить таблицу, состоящую из подтаблиц в соответствии со связностью среза. Это тоже делает программа. Теперь можно табличную функцию ri = r(?i), где i – номер «точки», преобразовать в аналитическую функцию, представленную в виде полинома по степеням ?. Этот способ называется интерполированием табличной зависимости. Высшая степень интерполяционного многочлена определяется визуально с целью сэкономить время вычислений при заданных разрешимости экрана и допустимых ошибках вычислений. На этом шаге может быть применен метод наименьших квадратов. Суть его в том, что искомые коэффициенты многочлена подбираются так, чтобы минимизировать суммарное отклонение строящейся плавной кривой от табличных «точек». Это достигается варьированием полученного (дискретного) уравнения по искомым коэффициентам (см. примеры в [23]). На этом шаге необходимо вычислить значения коэффициентов, решая систему линейных уравнений, то есть придется составлять матрицы и вычислять определители . Ранг n матриц может быть, в принципе, достаточно большим, чтобы получить хорошую точность. Но с ростом ранга матриц объем вычислений V растет как показательная функция an. Поэтому вид функции r = r(?) предпочтительней сначала угадать по ее графику, то есть провести виртуальную аппроксимацию, а затем уточнить оценку с помощью алгебры. При этом можно ограничиться третьим приближением (на одно приближение точнее, чем при разложении тригонометрических функций в ряд Тейлора до второго порядка малости). Но если определители вычисляются не вручную, а программой, то можно собирать члены интерполяционного многочлена по степеням ? до n = 30 и более (на практике такие вычислительные ‘уточнения’ излишни, если экспериментальная или компьютерная кривая сами определяются с ощутимой погрешностью). В большинстве случаев для интерполяции используются степенные многочлены или тригонометрические ряды вида