Об искусстве рассуждения

Когда планета совершает движение по эллипсу, а центр движения нахо­дится в одном из фокусов, то радиус-вектор описывает равные площади. Это равенство вначале не столь ощу­тимо, потому что площади не все подобны и Вы найдете подобие лишь среди тех, которые соответствуют одна другой на одинаковом расстоянии от перигелия и от афелия. Но хотя площади (рис. 39) не все подобны, они все равны: те, у которых наименьшая длина, выигрывают в ширине то, что они проигрывают в длине. Вы сможете наглядно увидеть это на рисунке; однако необходимо привести доказательство этого.

Вы знаете, что площадь треуголь­ника, или пространство, заключен­ное между тремя сторонами, есть половина произведения высоты на основание, а потому Вы полагае­те, что, когда треугольники имеют одно и то же основание и одина­ковую высоту, площади равны. Теперь предположим, что тело (рис. 39), двигаясь равномерно, проходит в равные промежутки

времени равные отрезки АВ, ВС; очевидно, что площади ASB, BSC, описываемые радиусом-вектором, равны, так как оба этих треугольника имеют одинаковую высоту и одинаковое основание: одинаковое основание — так как ВС равно АВ и одинаковую высоту — так как высота и того и другого — это перпендикуляр, опущенный из вершины S на прямую AD.

Следовательно, пока это тело будет продолжать двигаться по той же прямой и пока треугольники будут иметь общую вершину в той же точке, площади останутся равными и будут различаться лишь потому, что они будут выигрывать в длине то, что потеряют в ширине.

Однако, когда это тело вместо прямой линии будет опи­сывать кривую линию вокруг точки S, где мы установили вершину треугольников, данное направление не изменит размера площадей, а изменит лишь их конфигурацию, так что они выиграют в ширину то, что они потеряют в длину. Для доказательства сообщим этому телу, пришедшему в С, силу, способную, при условии что на тело не будут действо­вать другие силы, перенести его в Е за то же время, за какое

оно пршло бы, двигаясь равномерно, из С в D. Из выше­сказанного явствует, что данное тело, подчиняясь этим двум силам, пройдет диагональ CF параллелограмма CDFE за то же время, за какое оно прошло бы СЕ или CD. Стало быть, радиус-вектор опишет площадь SCF, но эта площадь равна SCD, так как два треугольника имеют общее ос­нование в CS и, находясь между двумя параллелями СЕ и DF, имеют также общую высоту в перпендикуляре, опу­щенном с одной из этих прямых на другую. Вам понятно, что то же самое рассуждение доказывает равенство следующих площадей.