Бытие и сознание

Вместо того чтобы определить позитивное содержание понятия через внут­ренние закономерные соотношения сторон или свойств соответствующего явле­ния и показать его инвариантность по отношению к признакам, от которых абст­рагируются, при определении через абстракцию понятие характеризуется его независимостью (инвариантностью) по отношению к тому, от чего абстрагируют­ся. Специфику этого и возможность другого, генетического, конструктивного пу­ти можно уяснить себе на примере числа.

Через абстракцию число определяется посредством равночисленности исчис­ляемых множеств. Другой путь его определения — конструктивный — осуществля­ется исходя из единицы по принципу полной индукции. При таком обосновании числа числа выступают в своих внутренних взаимоотношениях как упорядочен­ные множества, посредством которых при счете упорядочивается и исчисляемое. Каждое число определяет численность множества (а не наоборот, как при опреде­лении числа через абстракцию). При этом специально показывается, что результат счета не зависит от порядка, в котором он производится (таким образом инвари­антность по отношению к несущественным внешним отношениям обосновывает­ся исходя из закономерности внутренних отношений). Определение числа через равночисленность соотносимых множеств (при определении через абстракцию) скрыто предполагает упорядочение самих соотношений и, значит, соотносимых множеств. При определении через абстракцию утверждается определенность чис­ла посредством равночисленных множеств, но этим не вводятся индивидуально определенные числа.

При таком определении понятие является неким х, определенным лишь по­стольку, поскольку оно должно отвечать известным условиям — инвариантности при некоторых преобразованиях внешних по отношению к нему свойств, от кото­рых понятие должно быть отвлечено; оно лишено каких-либо собственных («внут­ренних») определений (в переменную здесь таким образом превращают не то част­ное, внешнее, привходящее, от чего абстрагируют, а общее). Поэтому посредством определения через абстракцию при таком ее понимании создается «формальная» система, безразличная к внутреннему содержанию, к свойствам объектов, о кото­рых идет речь. Поэтому, например, Вейль, вообще не стоящий на позициях фор­мализма, говоря об определении через абстракцию, в этой связи заявляет: «Мате­матику совершенно безразлично, что такое круги» (Es istfurden Mathematiker ganz gleichgultig, was Kreise sind)1. Ясно, что такое утверждение ведет к открытому формализму. Конечный смысл этого утверждения применительно к математике выразил Рассел в своем известном афоризме: «Математика это наука, в которой мы не знаем, ни о чем мы говорим, ни того, истинно лито, что мы утверждаем». (О второй части этого положения см. дальше.)