Абстракция в лабиринтах познания

2.2. О значениях слова “абстракция”. Обычно первые – “наивные” – понятия науки живут в нашем сознании в виде несовершенных и туманных образов. Только со временем – да и то не всегда – они могут приобретать логически приемлемую форму. Случается, правда, что научную теорию нельзя построить без предварительного точного определения основных (первых) понятий этой теории; когда, как говорил Фейербах, смысл продвижения вперёд – в определении [70]. Но, вообще говоря, это не правило. Известная туманность необходимого нам концептуального материала далеко не всегда препятствует созданию с его помощью хорошей научной теории. Исторически так создавались неформальная арифметика и элементарная геометрия, классическая физика и математический анализ и, наконец, упомянутая выше наивная теория множеств.

Замечание Н. Бурбаки о том, что начиная с античности понятия “математика” и “доказательство” по значению, по существу, совпадали, интересно, в частности, тем, что интуитивное понятие доказательства “во всей его полноте” всегда оставалось достаточно неопределенным [71].

Между тем, именно изучение понятий во всей их полноте “часто оказывается чрезвычайно ценным для развития пауки”[72]. Но такое изучение не может быть догматичным, оно дается расщеплением, релятивизацией смысла. И формальная аксиоматика, какой бы абсолютной ни казалась нам её роль, является одним из средств релятивизации понятий. Полиморфизм аксиоматик – это не только следствие положительного стремления к точности, но и оборотная сторона той отрицательности, которая заведомо заключена в этом стремлении, поскольку «уточнение смысла происходит за счёт отбрасывания потенциальных возможностей, заключённых в интуитивном образе»[73]. К примеру, никакая формальная схема математической индукции для системы аксиом арифметики натуральных чисел (для системы Пеано) не может исчерпать всей силы интуитивного содержания математической индукции «в том смысле, что нельзя посредством такой схемы обеспечить, что единственной (с точностью до изоморфизма) моделью её аксиом будет множество натуральных чисел»[74]. В целом система аксиом Пеано однозначно определяет только тот факт, что универсум любой её индукционной модели (Л.Генкин) должен быть не более чем счётным.

Итак, каждая данная аксиоматика ограничивает свободу “обращения” понятий в их неограниченной интуитивной общности, а кроме того – и свободу экстраполяции понятий за пределы соответствующего класса моделей [75]. Не случайно аксиоматический метод представляют как метод неявных определений – determinatio negatio est.