|
Вот как отвечаал на этот вопрос Кассирер: «Понятие о точке, о линии, о поверхности невозможно рассматривать как непосредственный частичный состав данного налицо физического тела, и их нельзя поэтому извлечь из него путём простой “абстракции”... Голой “абстракции” здесь противостоит своеобразный акт мышления, свободное творчество определённых связей отношения... Учение об абстракции теряет здесь или своё всеобщее значение, или свойственный ей с самого начала специфический логический характер» [66]. Видеть “специфический логический” характер абстракции в субъективном акте отвлечения, – это, конечно, дань традиции. Но поскольку иного, по определению, не дано, Кассирер в приведённом отрывке, чтобы предусмотреть возможность “свободного творчества”, намечает переход от проблемы абстракции к проблеме идеализации, которая была поставлена ещё Феликсом Клейном в его “Эрлангенской программе” (1872). Оценивая абстракцию только как психологический акт отвлечения, слишком связанный с чувственным содержанием опыта, Клейн ставил идеализацию выше абстракции в творческом плане, усматривая её суть в логической обработке факта, в его преобразовании в доведённый до совершенства теоретический рафинированный образ. «В этом “идеализировании” эмпирических данных, – писал Клейн, – лежит истинная сущность аксиом. Наше прибавление к эмпирическим данным ограничено при этом в своём произволе тем, что оно должно приспособляться к фактам опыта и, с другой стороны, не может вводить никаких логических противоречий»[67]. При такой постановке вопроса решающим фактором возрождения интереса к теме абстракции явилась, конечно, канторовская теория множеств с сопутствующим ей утверждением, что “суть математики в её свободе”. Постулируя множество в качестве реальной сущности, Г. Кантор предложил отличать интуитивно ясный эмпирический факт наличия многих вещей – множественности их – от множества как единой вещи, которая уже не является эмпирическим фактом и, вообще говоря, не может быть проиллюстрирована на примере [68]. Чисто логический переход от множественности вещей к множеству их как “абстрактной вещи” с тех пор является важнейшим априорным принципом теории абстрактных множеств, лишь очень немногое почерпнувшей из мира эмпирических истин. Можно сказать, что кризис оснований математики имел философскую подоплеку и развился из недоверия к объективному смыслу трансфинитных абстракций, породивших определённое «чувство беспокойства относительно зависимости чистой логики и математики от онтологии платонизма»[69]. Именно с критики трансфинитных принципов начинается глубокая дифференциация методологических подходов по типу применяемых абстракций (эффективизм, интуиционизм, логицизм, формализм и др.), стремящихся преодолеть кризис оснований не только техническими средствами усовершенствования математических теорий, но также тем или иным решением гносеологических проблем абстракции. В частности, это нашло отражение в неоднократном обсуждении ординалов с точки зрения эмпирических (финитных) принципов, начиная с эффективистской модели, основанной на теореме о росте функций, и кончая рекурсивным анализом. — 31 —
|