Методология

В математическом смысле суть оптимизации, вкратце, заключается в следующем. Пусть состояние моделируемой системы определяется совокупностью показателей: x = (x1, x2, x3, ..., xn), принимающих числовые значения. На множество возможных состояний системы наложено ограничение: x ? X, где множество X определяется существующими физическими, технологическими, логическими, ресурсными и другими ограничениями. Далее вводится функция F(x), зависящая от x1, x2, x3, ..., xn, которая называется критерием эффективности и принимает числовое значение. Считается, что чем б?льшие значения принимает функция F(x), тем выше эффективность, то есть, тем «лучше» состояние x системы.

Задача оптимизации заключается в нахождении оптимального значения x*, то есть допустимого состояния системы (x ? X), имеющего максимальную эффективность: для всех x из множества X выполняется F(x*) ? F(x).

Приведем пример простейшей задачи оптимизации. Пусть имеется R единиц ресурса, и n инвестиционных проектов. Каждый проект характеризуется отдачей ?i> 0 на единицу вложенных средств. Величина xi ? 0 описывает, какое количество ресурса инвестируется в i-ый проект. Множеством X в данном примере будет множество таких векторов инвестиций, сумма компонентов которых не превосходит бюджетного ограничения: x1 + x2 + x3 + ... + xn ? R, то есть, допустимы любые комбинации инвестиций, удовлетворяющих ограничению на первоначальное количество ресурса. Критерием эффективности естественно считать суммарную отдачу от инвестиций: F(x) = ?1 x1 + ?2 x2 +... + ?n xn. Оптимальным в данном примере будет вложение всех средств в тот инвестиционный проект, который характеризуется максимальной отдачей на единицу вложенных средств (с максимальным значением ?i).

Такой вывод вполне соответствует здравому смыслу, и для его получения вряд ли стоило формулировать математическую задачу оптимизации. Однако, если усложнить модель (например, учесть риск или тот факт, что проекты могут требовать фиксированных инвестиций и давать фиксированную отдачу, и т.п.), то задача станет не столь тривиальной и без оптимизационных моделей нельзя будет обойтись (см. примеры в [26, 29]). Например, пусть имеются 100 единиц ресурса и два проекта. У первого проекта отдача на единицу вложенных средств равна 1,8, у второго – 1,4. Вероятность успешного завершения первого проекта равна 0,85, второго – 0,95. Требуется распределить инвестиции между проектами так, чтобы ожидаемый доход был максимален: 1,8?0,85?x1 + 1,4?0,95?x2 ? max, при условии, что расходуется количество ресурса, не большее имеющегося: x1 + x2 ? 100, и ожидаемые потери не должны превышать 9 % от имеющегося ресурса: (1 – 0,85)?x1+ (1 – 0,95)?x2 ? 9. Данная оптимизационная задача (являющаяся задачей линейного программирования [201]) имеет следующее решение: = 40, = 60. Значение критерия эффективности при этом равно 141.