Методология

Можно выделить следующие этапы построения математической модели (см. также Рис. 19).

1. Определение предмета и цели моделирования, включая границы исследуемой системы и те основные свойства, которые должны быть отражены моделью (см. обсуждение соотношения объекта и предмета исследования, а также метода абстрагирования выше).

2. Выбор языка (аппарата) моделирования. На сегодняшний день не существует общепризнанной классификации методов математического моделирования. Например, в [172] было предложено выделить[51] оптимизационные[52] и теоретико-игровые[53] модели. Существуют несколько десятков «аппаратов» моделирования (см. сноски на настоящей странице и библиографические ссылки в них), каждый из которых представляет собой разветвленный раздел прикладной математики. Описывать всех их подробно в рамках настоящей книги не представляется возможным (да и целесообразным). В качестве примера проиллюстрируем, какого рода модели позволяет строить теория графов.

Теория графов – раздел дискретной математики. Неформальное определение графа таково: графом называется совокупность вершин (изображаемых кружками) и связей между ними, изображаемых ориентированными дугами (со стрелками) или неориентированными ребрами (без стрелок) – см. Рис. 18.

Рис. 18. Пример графа

Язык графов оказывается удобным для моделирования многих физических, технических, экономических, биологических, социальных и других систем.

Приведем ряд примеров приложений теории графов (более подробное описание перечисляемых и других задач можно найти в [26, 29]).

а) «Транспортные» задачи, в которых вершинами графа являются пункты погрузки/разгрузки, а ребрами – дороги (автомобильные, железные и др.) и/или другие транспортные (например, авиационные) маршруты. Другой пример – сети снабжения (энергоснабжения, газоснабжения, снабжения товарами и т.д.), в которых вершинами являются пункты производства и потребления, а ребрами или дугами – возможные маршруты перемещения (линии электропередач, газопроводы, дороги и т.д.). Соответствующий класс задач оптимизации потоков грузов, размещения пунктов производства и потребления и т.д., иногда называется задачами обеспечения или задачами о размещении. Их подклассом являются задачи о грузоперевозках.

б) «Технологические задачи», в которых вершины отражают производственные элементы (заводы, цеха, станки и т.д.), а дуги – потоки сырья, материалов и продукции между ними, заключаются в определении оптимальной загрузки производственных элементов и обеспечивающих эту загрузку потоков.