|
Как, опираясь на этот параллелизм и взаимосвязь множеств и предикатов, определить натуральные числа? Подход Фреге состоял в следующем[83] (весьма родственное, но чисто теоретико‑множественное определение натуральных чисел предложил Кантор[84]). Исходным является понятие взаимно однозначного соответствия между элементами двух произвольных множеств (заметим, что при этом не используется никаких «числовых» понятий, даже единицы). Множества рассматриваются как порождаемые некоторыми одноместными предикатами. Далее вводится понятие «равнообъемности» предикатов. Два предиката, порождающие множества, между элементами которых можно установить взаимно однозначное соответствие, называются равнообъемыми . Например, предикаты «быть изобретателем математического анализа» и «быть спутником Марса» равнообъемны, поскольку можно установить взаимно однозначное соответствие: Ньютон – Фобос, Лейбниц – Деймос. Отношение равнообъемности является отношением типа равенства (отношением, аналогичным отношению, скажем, равенства по весу), а потому разбивает все множество предикатов на непересекающиеся подмножества, в каждом из которых оказываются предикаты одного и того же объема (подобно тому, как отношение равенства по весу разбивает все множество тел на непересекающиеся подмножества тел, имеющих одинаковый вес). Если некоторое множество равнообъемных предикатов содержит предикаты конечного объема, то объем любого из этих предикатов объявляется некоторым натуральным числом. Подробнее, процедура определения состоит в следующем. Нулем объявляется объем предиката х ? х, который пуст. Это число можно определить и на языке свойств, сказав: число нуль – это свойство быть множеством, задаваемым предикатом, равнообъемным предикату x ? x. Единицей объявляется свойство быть множеством, задаваемым предикатом, равнообъемным какому‑либо предикату, в объем которого входит единственный предмет, скажем, предикату «быть Солнцем». Чтобы не возникло впечатления, что единица здесь определяется через самое себя («единственный предмет»), можно вместо предиката «быть Солнцем» взять предикат «быть пустым множеством» (объем которого состоит из единственного предмета – пустое множество только одно) и определить: «Единица есть свойство множества, задаваемого предикатом «быть пустым множеством»». Число два тогда определяется как свойство множества. задаваемого предикатом «х есть предмет, удовлетворяющий либо свойству х ? х, либо свойству быть пустым множеством» и т. д. Заметим, что, определяя на этом пути натуральные числа, можно поступить и иначе: считать натуральными числами сами множества равнообъемных конечных множеств. — 66 —
|