Десять великих идей науки. Как устроен наш мир

В 1874 г. Кантор обнаружил простой аргумент, показывающий, что иррациональные числа более многочисленны, чем рациональные. Мы будем использовать этот аргумент и его видоизменения в других контекстах, поэтому стоит на нем задержаться. Начнем выписывать список случайно выбранных чисел, лежащих между 0 и 1, и последовательно их пронумеровывать (в левой колонке):

10,1 98 402 957 820…20,43 8 291 057 381…30,684 930 175 839…40,782 9 48 261 859…50,500 00 0 000 000…60,483 913 562 785…… Теперь покажем, что каким бы длинным ни был список, включая бесконечную длину, существуют числа, которых в нем нет. Чтобы проделать это, построим новое число, выбирая первую цифру после десятичной точки в первом числе списка, вторую во втором числе и так далее и записывая в новом числе на соответствующем месте другую цифру, замена жирных цифр, например, даст нам новое число 0,134 903…. Этого числа определенно нет в списке, поскольку оно отличается от первого числа, оно отличается от второго числа и так далее. Отсюда следует, что количество действительных чисел (рациональные вместе с иррациональными) больше, чем количество натуральных чисел, потому что, как бы ни был длинен список, мы всегда можем построить число, которого в нем нет. Мы говорим, что действительные числа несчетны .

Давайте посмотрим на это заключение немного более пристально. Мы только что видели, что действительные числа (натуральные числа плюс рациональные числа и иррациональные числа) являются несчетными. Однако мы видели, что натуральные числа, рациональные числа и алгебраические числа все счетны. Мы можем сделать вывод, что числа, которые делают действительные числа несчетными, все являются трансцендентными (такими, как ? и e) .

Сделаем паузу, чтобы осознать значение этого необычного вывода. Он означает, что огромное большинство чисел — на самом деле, бесконечно преобладающее большинство — являются трансцендентными. Это весьма удивительно, особенно потому, что трансцендентные числа гораздо менее нам знакомы, чем «обычные» числа, и вы даже могли никогда о них раньше не слышать. Тот факт, что трансцендентные числа в преобладающей степени более многочисленны, чем другие виды чисел, явился основанием для моего замечания в начале главы, что удивительным является то, что мы вообще можем считать: натуральные числа крайне редко распределены среди действительных чисел, и каждое из них окружено бесконечностью трансцендентных чисел. Эдвард Темпл Белл выразил это графически, когда написал