|
Некоторые иррациональные числа, включая ? , но не ?2, являются трансцендентными, в том смысле, что они «трансцендируют», переступают обычные алгебраические уравнения. Это просто означает, что они не являются решениями простых алгебраических уравнений, подобных 3x2 ? 5x + 7 = 0 . Так, x = ?2 есть решение уравнения х2 ? 2 = 0 , поэтому (как решение такого уравнения), это число алгебраическое, а не трансцендентное. Однако не существует уравнения такого вида, решением которого было бы x = ? или x = e , поэтому ? и e не только иррациональные, но и трансцендентные числа. В 1934 г. русский математик Александр Гельфонд (1906-68) доказал, что ab является трансцендентным, если a алгебраическое (отличное от 0 и 1) число, a b — алгебраическое и иррациональное (как ?2); так, 2?2, например, трансцендентно, поскольку 2 — алгебраическое, а иррациональное число ?2 — тоже алгебраическое. Поэтому мы сразу знаем, что не существует алгебраического уравнения, решением которого было бы 2?2. Между прочим, название «алгебра», которое только что появилось, произошло от Al-jabr w'al muq?bala (Восстановление и упрощение), названия книги Мухаммеда ибн Муса аль-Хорезми, написанной в 830 г. Al-jabr , «возвращение», здесь относится к решению уравнений, но очаровательно, что этот термин означает также и «костоправ». Аль-Хорезми отличился дважды: его имя тоже является источником термина «алгоритм», обозначающего серию процедур для решения уравнений. Мы видели, что решения различных уравнений порождают классы чисел, известные под общим названием «алгебраические числа». Решения уравнений, подобных 2x = 1 , дают нам рациональные числа (в данном случае x = 1/2), в то время как уравнения, подобные x2 = 2 , дают нам иррациональные числа (в данном случае x = ?2); числа, не являющиеся решениями уравнений, подобных этим, являются трансцендентными числами (как x = 2?2). Натуральные числа можно представить как решения уравнений, подобных x ? 2 = 1 (с решением x = 3), а отрицательные числа как решения уравнений, подобных x + 2 = 1 (с решением x = ? 1). Но существует простое уравнение, выпадающее из этого списка: каково решение уравнения x2 + 1 = 0 ? Ни одно из чисел введенных ранее не является его решением, поскольку квадрат любого из них положителен и, будучи прибавлен к 1, не может дать нуля. В значительной мере потому, что математики не хотели признавать, что некоторые уравнения не имеют решения, они ввели понятие мнимого числа i , которое является решением уравнения x2 + 1 = 0 ; другими словами, x = ?(? 1). Поскольку они — на самом деле, Декарт — считали, что чисел, подобных i и i , умноженному на любое число, в действительности не существует, они и назвали их «мнимыми». — 262 —
|