|
Рациональные и иррациональные числа, как положительные, так и отрицательные, включая ноль, называются действительными числами . Чтобы вообразить действительные числа, мы можем представить себе, что каждое число соответствует точке прямой, где самые большие числа находятся справа. Действительные числа, подобно точкам на прямой, простираются от минус бесконечности слева до плюс бесконечности справа и включают все возможные числа — целые, рациональные и иррациональные. Это соответствие действительных чисел с точками прямой явилась решающим шагом в осознании того, что геометрия — свойства различных линий, а значит, наборов точек, а значит, наборов действительных чисел — может рассматриваться, как ветвь арифметики. Мы не пойдем по этому пути в настоящей главе, но вам следует иметь в виду, что, хотя мы и будем сосредотачиваться на идеях, которые являются явно арифметическими, в скрытом виде они включают и другие области математики, такие как геометрия (рис. 10.4). Рис. 10.4. У греков было абстрактное представление о пространстве, и поэтому они преуспели в геометрии. Здесь мы видим, как параболы, гиперболы и эллипсы (включая частный случай круга) можно рассматривать как наборы чисел, получаемые посредством сечений конуса в разных направлениях. Теперь мы знаем, благодаря пионерской работе Декарта, как связать эти формы с алгебраическими уравнениями, и поэтому можем видеть связи между геометрией пространства и арифметическими свойствами определенных наборов чисел. На самом деле, арифметика даже более богата. В соответствии с чрезвычайно важной, но обманчиво краткой теоремой, которую доказал в 1915 г. немецкий математик Леопольд Лёвенгейм (1878-1957) и усовершенствовал в 1920 г. норвежец Альберт Тораф Сколем (1887-1963), система правил, подобных правилам арифметики, действует в любой области знания, которая может быть формализована в терминах набора аксиом. Если бы в школе вам говорили, что, согласно теореме Лёвенгейма-Сколема , вы, на самом деле, моделируете процесс вывода заключений из квантовой механики, теории естественного отбора и юриспруденции (постольку, поскольку эти области знания могут быть выражены в терминах аксиом), это могло бы смягчить утомление от узнавания, как извлекать квадратный корень и проделывать длинные упражнения на деление. То же самое верно относительно остальной части этой главы: хотя многое в ней будет читаться, как относящееся к арифметике, имейте в виду, что это в действительности относится к любой систематизированной области человеческого знания . Если уж это не захватывает дух, то я просто не знаю, чем вас пронять. — 261 —
|