Десять великих идей науки. Как устроен наш мир

Рис. 10.1. Так называемые арабские цифры произошли от индийских символов, которые можно проследить до письма Брахми и далее, до более глубоких корней в семитской традиции. Верхняя строка показывает четыре цифры третьего века до н.э. из эдикта Ашоки, писанного на Брахми. Вторая строка показывает цифры третьего века н.э. из источника, найденного в штате Уттар Прадеш.

Ноль (zero, от арабского sifr , пустой) первоначально обозначался точкой, как и поныне обозначается в арабском письме. Символ бесконечности, ?, как волк в ночи, прокрался в стан чисел, чтобы в нужный момент наброситься на них. Его впервые использовал в 1655 г. страдавший бессонницей Джон Уоллис (1616-1703), оксфордский математик и один из основателей Королевского общества, в своем Трактате о конических сечениях . Он выбрал этот символ для обозначения кривой, которую можно продолжать бесконечно, возможно, надеясь заснуть, продолжая ее.

Неприятности (то есть математика) начались, когда числа стали различными способами комбинировать. Когда мы начинаем манипулировать натуральными числами, используя такие операции, как вычитание и деление, когда изобретательный интеллект обременяет себя ношей практического опыта, мы порождаем числа, имеющие мало общего с количественными числами. Сперва мы рассмотрим символы для этих операций, а затем увидим, как, применяя их к натуральным числам, мы порождаем новые типы чисел; их сводка представлена на рис. 10.2, и, вероятно, будет полезно держать эту иллюстрацию в уме, читая последующий текст. В начальные для математики времена уравнения были «риторическими», в том смысле, что они сжато выражались словами. Гораздо большая ясность, а с большей ясностью и большие возможности для манипуляций, возникла после введения символов, определяющих операции.

Рис. 10.2. Здесь представлена сводка основных типов чисел, с которыми мы встречаемся в этой главе. Натуральные числа являются числами счета; их расширение на отрицательные значения порождает целые числа. Между целыми числами расположены рациональные числа, то есть числа, получаемые делением одного целого числа на другое. Гораздо большую плотность имеют иррациональные числа, которые нельзя получить таким способом. Действительные числа, состоящие из целых чисел, рациональных чисел и иррациональных чисел, соответствуют точкам, образующим прямую линию, уходящую в бесконечность в обоих направлениях. Алгебраические числа являются числами, которые можно получить в виде решений алгебраических уравнений, а трансцендентные числа являются числами, которые нельзя получить таким способом. Некоторые алгебраические числа рациональны, другие иррациональны; все трансцендентные числа иррациональны.