|
Хотя простые числа являются фундаментальными атомами умножения (так же, как 1 тривиально является фундаментальным атомом сложения), они, может быть, играют фундаментальную роль и в сложении тоже. В 1742 г. Кристиан Гольдбах (1690-1764), однажды оказавшийся учителем царя Петра II, в письме к прославленному математику Леонарду Эйлеру (1707-83) предположил, что каждое четное натуральное число, большее 2, является суммой двух простых чисел. Так, мы имеем 2 + 2 = 4, 3 + 3 = 6, 3 + 5 = 8, …, 47 + 53 = 100, …. Гипотеза Гольдбаха до сих пор не доказана, несмотря на приложение огромных усилий. Трудность, по-видимому, связана с тем фактом, что простые числа, произошедшие из концепции умножения, помещаются здесь в контекст сложения. Однако эта гипотеза может быть примером того, что постепенно выдвигается в центр сцены: она, возможно, не может быть доказана и поэтому, в некотором смысле, эта гипотеза может быть ни истинной, ни ложной. Гольдбах предположил также, что каждое нечетное натуральное число является суммой трех простых чисел. Это предположение частично доказал — доказательство справедливо лишь для больших чисел — в 1937 г. русский математик Иван Матвеевич Виноградов (1891-1983). Деление одного натурального числа на другое также вводит новый класс чисел, называемых рациональными числами (от «рацио»; заслуживающее доверия качество таких чисел отражено в нашем привычно используемом термине «рациональный», обозначающем разумность, основанность на разуме); примеры между 0 и 1 включают 1/2 = 0,500 000 000… и 3/7 = 0,428 571 428 57…. Заметим, что десятичные формы рациональных чисел содержат либо бесконечно повторяющийся 0, либо бесконечно повторяющуюся конечную последовательность чисел. Если вы начнете думать как математик, который идет дальше непосредственно воспринимаемого, ищет обобщений и исследует, куда они ведут, то вы почувствуете зуд от шевелящегося в вас вопроса: существуют ли числа, не содержащие повторяющихся последовательностей и поэтому не выражаемые в виде отношения натуральных чисел? Существование таких иррациональных чисел было впервые обнаружено пифагорейцами, чья целостная философия жизни в Кротоне (сегодня Кротон, находящийся в каблуке Италии, носит название Кротоне), основанная на гармонии рациональных чисел, запрете мочиться в сторону Солнца или чистить ногти во время жертвоприношения и на поддержании социального мира путем исключения из пищи бобов (практиковавшегося самим Пифагором, чему он обучился у египетских жрецов, среди которых однажды жил)[49], была ниспровергнута, когда обнаружилось, что квадратный корень из 2, ?2, = 1,414 213 5… является иррациональным и не может быть получен с помощью деления одного натурального числа на другое. С тех пор многие другие числа были идентифицированы как иррациональные, среди них ? = 3,141 59… (отношение окружности к диаметру круга, ? введено в качестве символа Эйлером в 1737 г., а иррациональность была установлена в 1767 г.)[50], ?2 (иррациональность установлена в 1794 г.) и e = 2,718 28… (основание натурального логарифма). Иррациональность доказать трудно: например, хотя известно, что е? иррационально, все еще неизвестно, обладает ли этим свойством ?e . — 260 —
|