|
Как мы вскоре увидим, с тех пор, как математики начали, в своей характерной глубокомысленной манере, размышлять о натуральных числах, стало очевидно, что удивительным является даже то, что мы вообще можем считать. Ведь этих чисел так мало (всего лишь бесконечность), и они столь редки, что с некоторой точки зрения удивительно, как древним людям удалось наткнуться на них в первый раз. Мы уже можем начать понимать некоторые из проблем, беспокоящих математиков даже на этой ранней стадии обсуждения. Например, действительно ли количественные числа продолжаются до бесконечности, или более верным, чем вечно марширующие без всякого пункта назначения числа, представлением является так называемая ультрафинитистская математика , в которой натуральные числа выдыхаются до того, как достигнут бесконечности? И поскольку, если быть честными, мы не способны непосредственно воспринимать бесконечность, можно ли полагаться на математические доказательства, содержащие обращения к бесконечности? Многие склонны отвечать на последний вопрос отрицательно, и делают все, чтобы не подпустить бесконечность на расстояние ближе вытянутой руки. Если мы вернемся к начальным временам счета, когда бы они ни были, мы обнаружим глубокий резонанс с тем, что принимается в качестве счета сегодня (тема, которую мы исследуем позже). Счету в большой мере помогают счетные приспособления, такие как насечки на палочках, бусины четок, сотня бусинок мусульманских субха , используемых для повторения девяноста девяти атрибутов Аллаха (с одной дополнительной бусиной, отмечающей начало счета), шарики сухого навоза и столбики голышей (по латыни calculi, откуда произошло слово «калькуляция»). Универсальным портативным счетным прибором является человеческое тело с его различными выемками и выпуклостями. Островитяне Торресова пролива достигли в счете по телу 33 (мизинец правой ноги), проходя по пути 8 (правое плечо), 26 (правое бедро) и 28 (правая лодыжка), и установили для своего счета основание 33. Человеческая рука, однако, гораздо более удобный инструмент счета, особенно когда человек полностью одет. Более того, рука обладает гибкостью и способна демонстрировать как количественные, так и порядковые числа: количественные числа показывают, выставляя соответствующее число пальцев одновременно, а порядковые числа демонстрируют, последовательно разгибая пальцы. Таким образом, счет «с основанием 10», как называют нашу общепринятую систему, является естественным следствием анатомии человека. Хотя фундамент счета постепенно установился на основании 10, используемом сегодня почти всюду, были и остаются некоторые, отклонения. В языке апи, на котором говорят жители Новых Гебрид, счет ведется по основанию 5, и следы того же основания можно отыскать в некоторых языках Африки. Отголоски счета по основанию 12 обнаруживаются в употреблении нами дюжины. Вавилоняне предпочитали основание 60 по причинам, которые все еще остаются темными, и их выбор удержался в нашем способе деления времени и круга, с малыми «минутами» и вторичным (second) делением этих минут на секунды. Существует предположение, что шумеры Вавилона остановились на 60 (но без символа 0) в результате слияния двух культур, одна из которых использовала основание 10 (с простыми делителями 2 и 5), а другая основание 12 (с простыми делителями 2 и 3), с наименьшим общим произведением делителей (2?5) ? (2?3) = 60. Основание 60 так никогда и не привилось в повседневном счете, поскольку требовалось выучить очень большое число обозначений для 60 различных чисел, необходимое для схемы (0, 1, …, 8, 9, ?, ” , …, *[наше 59], 10[наше 60], 11, …). Латынь и французский несут следы основания 20, в undeviginti (19 = 20 ? 1) и quatre-vingts (4 ? 20 = 80) соответственно, и этот след можно различить в английском score (20) и датском tresinstyve (три раза по двадцать) для 60; основание 20 все еще используется у некоторых племен индейцев в Венесуэле, эскимосов Гренландии, айнов Японии и запотеков Мексики. Заслуживают жалости несчастные майя, чей астрономический календарь имел похожий на раковину символ для 0 и основание 20, но третий разряд («сотни») был основан на 18 ? 20, вместо 20 ? 20, четвертый разряд был основан на 18 ? 20 ? 20 и так далее. Вероятно, они пытались упростить астрономические вычисления, такие как 18 ? 20 = 360, длина года у майя. — 255 —
|