|
В лучшем случае небольшое изменение метрики приведет к незначительному изменению решения. К примеру, нам известно, как решать уравнение 2x=0 , его ответом является x=0 . «Если теперь я захочу решить уравнение 2x=-0,1 , то обнаружу, что ответ изменился весьма несущественно (x=-0,05 ), — что является для меня оптимальным вариантом», — поясняет Плессер. Уравнение x2=0 также не вызывает особых затруднений (вновь x=0 ). «Но если я попытаюсь решить уравнение x2=-0,1 , то обнаружу, что оно попросту не имеет решения, по крайней мере, в действительных числах, — говорит он. — Итак, вы видите, что небольшое изменение параметров может привести как к тому, что решение лишь немного изменится, так и к тому, что оно вообще исчезнет [например, для вещественных чисел]».[86] Как было установлено Гроссом и Виттеном, для исправленного многообразия Калаби-Яу последовательный ряд поправок сходится. Они показали, что, если почленно исправлять метрику Калаби-Яу, в результате возникнет сложнейшее уравнение, которое тем не менее можно решить. При этом все петли бета-функции устремятся к нулю. После этого, по словам Шамита Качру из Стэнфорда, «вопрос о том, чтобы полностью отбросить многообразия Калаби-Яу, уже не стоял; теперь достаточно было только слегка их модифицировать. И, поскольку изначально не существовало возможности записать метрику Калаби-Яу, необходимость ее небольшого преобразования не стала чем-то особо удручающим».[87] Дальнейшее развитие идей о способах преобразования метрики Калаби-Яу основано на появившейся в том же году работе Денниса Немесчанского и Ашока Сена, в то время работавших в Стэнфорде. Полученное в результате исправления многообразие топологически оставалось многообразием Калаби-Яу, а его метрика — почти риччи-плоской, хотя и не совсем. Немесчанский и Сен вывели точную формулу, показывающую степень отклонения модифицированной метрики от риччи-плоского случая. Их работа, совместно с работой Гросса и Виттена, «помогла сохранить многообразия Калаби-Яу для физики, поскольку без них пришлось бы прекратить исследования в целой области», — утверждает Сен. Более того, по словам Сена, без первого допущения о том, что многообразия Калаби-Яу, фигурирующие в теории струн, являются риччи-плоскими, добраться до окончательного решения было бы невозможно. «Если бы мы начали с метрики, не являющейся риччи-плоской, сложно даже представить, при помощи каких методик мы получили бы исправленный вариант».[88] Я полностью согласен с Сеном, хотя и не считаю, что допущение о риччи-плоской метрике многообразий Калаби-Яу после этого стало бесполезным. Можно рассматривать многообразие Калаби-Яу с риччи-плоской метрикой как решение уравнения x2=2 . При этом уравнение, которое нужно решить, — это x2=2,0000000001 , поскольку, как уже было сказано, искомое многообразие является почти, но не точно риччи-плоским. Для того чтобы получить модифицированную метрику, существует только один способ — начать с решения уравнения x2=2 и уже от него двигаться в требуемом направлении. При этом в большинстве случаев решение уравнения x2= 2 служит весьма хорошим приближением. Кроме того, риччи-плоская метрика, как правило, является простейшей для использования и охватывает подавляющее большинство явлений, интересующих ученых. — 140 —
|