|
* То есть построение куба с объемом, вдвое большим, чем объем данного куба.— Прим. перев. Стр. 166 Ответ, я полагаю, зависит от выбора исходной системы аксиом... Сейчас меня интересуют вопросы механического доказательства теорем, то есть вопросы создания таких машин, которые могли бы доказывать различные математические истины. Вот, например, мое последнее детище,— сказал Фергюссон, с гордостью указав на какое-то престранное сооружение. Крейг и Мак-Каллох несколько минут разглядывали машину, пытаясь разгадать ее назначение. — И что же она умеет? — спросил наконец Крейг. — Она может доказывать различные утверждения, касающиеся положительных целых чисел,— ответил Фергюссон.— Я использую язык, в котором имеются имена для разных множеств чисел,— точнее, подмножеств положительных целых чисел. При этом существует бесконечно много таких числовых множеств, которые поддаются наименованию на этом языке. Например, у нас имеются специальные названия для множества четных чисел, для множества нечетных чисел, для множества простых чисел, для множества чисел, делящихся на 3, и т. д.— вообще, можно сказать, что практически любое множество чисел, которое могло бы представить интерес для специалиста по теории чисел, обладает своим именем на этом языке. И хотя сама совокупность числовых множеств, поддающихся описанию на этом языке, содержит бесконечно много элементов, она (по мощности.— Перев.) будет все же не больше, чем множество всех положительных чисел. С каждым положительным целым числом п оказывается связанным определенное множество чисел Ап, имеющее имя на нашем языке — это позволяет представить себе, что все именуемые множества расположены в виде последовательности А1, А2,..., Аn ... . (Если хотите, можете вообразить себе, например, книгу с бесконечным числом страниц, причем для каждого целого положительного л на соответствующей n-й странице приведено описание того или иного множества положительных целых чисел. Тогда система An—это множество, описанное на n-й странице этой книги.) Введем теперь математический символ Є, который означает «принадлежит» или «является членом». Дл Стр.167 каждого числа х и произвольного числа у мы можем сформировать утверждение х Є Ау, которое означает, что х принадлежит множеству Ау. Это единственный вид утверждений, которые воспринимает моя машина. При этом задача машины состоит в том, чтобы определить, какие числа каким поддающимся описанию множествам принадлежат. Далее, каждое утверждение х Є Ау имеет свой кодовый номер — число, которое, будучи записано в обычной десятичной системе счисления, состоит из цепочки единиц длиной х и следующей за ней цепочки нулей длиной у. Например, кодовый номер утверждения ЗЄА2 выглядит как 11100; кодовый номер утверждения 1ЄА5 имеет вид 100000. При этом кодовый номер утверждения хЄАу, то есть число, состоящее из х единиц и следующих за ними у нулей, я буду обозначать символом х*у. — 102 —
|