Механика от античности до наших дней

В 1900 г. Ляпунов был избран членом-корреспондентом Академии наук, а в конце 1901 г. — академиком по кафедре прикладной математики, которая оставалась незанятой с 1894 г., после смерти Чебышева. В 1902 г. Ляпунов переехал в Петербург. Здесь он уже не преподавал, а целиком отдался научной работе. Он возобновил занятия фигурами равновесия жидкости и их приложениями к теории фигур небесных тел. В этой области ему принадлежат исключительно глубокие открытия.

Летом 1917 г. в связи с болезнью жены Ляпунов переехал в Одессу. В сентябре следующего года он начал в Одесском университете чтение курса «О форме небесных тел». Этот курс ему закончить не удалось: 3 ноября 1918 г. он скончался.

Научные заслуги Ляпунова были широко оценены на родине и за рубежом. Он был избран почетным членом многих русских университетов, членом-корреспондентом Парижской академии наук, иностранным членом Римской академии наук и т. д.

Обратимся к проблеме устойчивости движения, имеющей важное значение для теоретической механики, астрономии, аэромеханики, прикладной механики, теории механизмов и других областей техники.

В механических задачах, как правило, для упрощения анализа приходится пренебрегать влиянием некоторых факторов, пренебрегать силами, действие которых мало по сравнению с основными силами, определяющими движение. Однако в ряде случаев эти хотя бы и незначительные силы, действуя достаточно долго или возобновляясь периодически, могут частично и даже полностью изменить характер первоначального движения. Таким образом, это движение окажется неустойчивым.

Если точное решение задачи получено в конечном виде, можно судить об устойчивости или неустойчивости движения. Но не всегда такое решение можно найти. Отсюда вытекает необходимость найти метод, позволяющий, не решая полностью уравнений движения, определять, будет ли данное движение устойчивым или нет. Проблема устойчивости была поставлена в XVIII в. в связи с исследованием проблемы устойчивости Солнечной системы. Если пренебречь взаимными притяжениями планет и считать, что планеты притягиваются только Солнцем, то аналитическая механика дает однозначное решение, полностью определяющее основную траекторию движения планеты. Однако в действительности на каждую планету кроме силы притяжения Солнца действуют также силы притяжения других планет, которые возмущают движение рассматриваемой планеты по найденной основной орбите. Влияние этих возмущений может накапливаться и с течением времени полностью разрушить основное движение. Исследуя этот вопрос, Лаплас и Лагранж пришли к выводу, что для Солнечной системы возмущения больших полуосей и эксцентриситетов орбит не возрастают монотонно с течением времени, но периодически колеблются, достигая максимального и минимального значений; следовательно, движение больших планет Солнечной системы устойчиво. Но эта устойчивость не всегда имеет место (например, движение частиц в кольцах Сатурна). Как известно, кольца Сатурна состоят из частиц, вращающихся вокруг планеты. В этих кольцах на некоторых расстояниях от центра планеты имеются щели, разделяющие их на ряд концентрических колец и представляющие собой области, где движение находившихся там некогда частиц было неустойчиво.