|
1 В XVII веке Паскаль издевался над Кавалером де Мерэ, который, как нематематик, не понимал понятия непрерывности и мнил линию состоящей из точек; в XVII веке о такой наивности можно было сообщать, не утруждая себя доказательствами и ограничившись одной усмешкой. Но в XIX веке мы видим бесчисленные попытки, замышленные первоначально, по-видимому, в Гербертовской школе и глубокомысленно разработанные Риманом,— породить пространство движением точки. Продвигаясь, точка дает многообразие одномерное — линию; линия своим движением дает многообразие двухмерное — поверхность; движение поверхности приводит к трехмерному многообразию — пространству; это последнее ложится в основу пространства четырехмерного и т. д. Различный характер этих движений имеет следствием, по мысли Римана, различное строение пространств того или другого числа измерений — различную их кривизну в каждом месте. Римановское построение сделалось общепринятым. Но какие бы утонченности ни вносились в него, никогда они не могли скрыть той основной концепции, что пространственные образования, самое пространство, самые пространства суть точечные многообразия. Иначе говоря, в математике, а из нее в философии укоренилось понимание пространства как состоящего из точек, а самые точки уже не могли пониматься как единицы, имеющие положение. Но с этим «положением» дело обстояло и обстоит скверно, поскольку принято делать вид, будто оно, в конечном счете оказывающееся чисто пространственным, может в самом деле быть определено помимо пространства: ведь эти точки-единицы не имеют между собой никакой качественной разницы и, следовательно, или должны слиться в нашем сознании в одну точку, или получить пространственное различение. Вполне в упор взял концепцию о пространстве из точек как единиц Георг Кантор 8* По Кантору, все рассматривается как множество — мысленно объединяемых в единый объект — совокупностей вполне различных между собой, индивидуально очерченных элементов, которые в процессе отвлечения дают единицы, тогда как самое множество — общее понятие числа количественного и порядкового. Хотя и вынужденный расширить натуральный числовой ряд за конечные пределы и создать трансфинитные числа и типы порядка, Кантор, однако, не расстается с древним основоположением, что «все есть множество — ????? ???? ?? ????», как Зенон формулировал учение пифагорейцев, 19 П. Флоренский, т. 2 1 или с пифагорейским «вещи суть числа»; и не только не расстается, но именно ради того и придумывает трансфинитные числа, чтобы иметь право всегда говорить, что все есть число. Ударным же центром его усилий, истинным смыслом его работ было: понять непрерывное как род дискретного, составить сплошное из точек и выразить потребное к тому множество — числом. Работы Кантора и его последователей над проблемой континуума вызвали к жизни целую систему тонко отшлифованных понятий, безмерно ценных в самых разных отношениях; исследование соприкосновенных с континуумом понятий подвинулось вперед за три десятилетия, вероятно, более, чем за три тысячелетия до того. Но основная задача — логическая конструкция континуума к точкам-единицам и устранение среды, в которой эти точки имеют положение,— продолжает стоять как раз на том самом месте, где она была до Пифагора: континуум удается построить лишь на фоне подразумеваемой интуиции сплошного, а когда эта интуиция честно изгоняется вон, то и никакого континуума не получается. Да и понятно, когда мы не имеем способности созерцать hiatus, пробел между точками, усматриваемый только созерцательно, мы не можем и строить континуума, ибо не знаем, имеет ли пробелы то, что мы построили, или «связано», как выражается Кантор; континуум и лжеконтинуум на наш только логический вкус ничем не отличается. Впрочем, интуиция континуума и более глубоко проникает в состав всякого точечного множества (Punktmannigfaltigkeit, Punktmenge), ибо самое различение точек как точек пространства возможно только на фоне этого пространства, а если бы мы в самом деле взяли их, не имеющих никаких количественных различий и отличающихся друг от друга только положением в пространстве, вне пространства, то они перестали бы различаться между собой и необходимо слились бы, ибо пространство именно есть их principium individuationis9*. Но это — возражение по существу, а исторически несомненно мы находимся на гребне волны канторианства; этому кругу понятий принадлежит в математике ближайшее будущее. К тому же намечавшееся еще от Бос-ковича и Фарадея представление о материи как системе силовых центров, по-видимому, имеет в скором времени слиться с Канторовским пониманием пространства, и мы, после того как эфир растворился в пространстве, а пространство сделалось родом эфира, весьма недалеки от отождествления точечных первоэлементов пространства, — 420 —
|