|
Здесь, естественно, также получаются парадоксальные с точки зрения математической теории, основанной на непрерывности, следствия, например положение, что «изменяющаяся вещь неизменно должна быть уже изменившейся (в каждый момент)» и что тела «никогда не 165 движутся», но всегда «уже двинулись» (см. 62, 476, к 283). Но в атомистической математике и механике противоречия тут не возникает. Она решает и еще одну важную проблему: здесь нет несоизмеримых отрезков и иррациональных величин, тяжким кошмаром тяготевших над античной математикой. Снимается и Анаксагорова проблема «равенства» (равномощности) актуально бесконечного множества и его «части» (подмножества). Однако взамен возникает другая апория бесконечности — «более бесконечное, чем бесконечность» (см. Л 141): если миров бесконечное множество, а каждый из них состоит из большого числа атомов (более чем одного атома), то число последних превысит бесконечность, что невозможно. Поскольку же Анаксагорова проблема снята, выход из этого затруднения невозможен (см. также 65, 179). Это далеко не все проблемы, связанные с античной математикой в ее атомистической форме. Мы остановились лишь на некоторых из них, имеющих более или менее близкое отношение к проблеме античной диалектики. Попытаемся теперь определить место атомизма в истории математики. В советской литературе по этому поводу существуют две точки зрения. Атомизм, пишут авторы «Истории математики», «был совершенно непригоден для исследования непрерывных величин, не говоря уже об отображении и изучении движения» (40, 94). Это по существу точка зрения Аристотеля. С. Я. Лурье, напротив, видит в атомистической математике «непосредственный источник одной из величайших отраслей нынешней математической науки (дифференциального и интегрального исчислений.—А. 5.)». История математики представляет с этой точки зрения историю взаимодействия точек зрения прерывности (атомизма) и непрерывности. «В древности мы наблюдаем чрезвычайно быстрый прогресс на почве атомистических представлений. Правда, атомистическая математика должна была приводить к ошибкам и произвольным допущениям, и величайшей заслугой официальной греческой математики, основанной на представлении о непрерывности, было устранение этих ошибок и нахождение методологии точных математических доказательств. Но эта математика оказалась малоплодотворной в смысле создания новых математических ценностей. С конца XVI в. учение о непрерывности является характерной чертой схоластического застоя, а борцы за возрождающуюся науку, став на точку зрения — 125 —
|