|
1 Под группой в самом общем смысле в математике понимают непустое множество, на котором задана некоторая бинарная алгебраическая операция, определена элементарная единица этого множества и обратный ей элемент. (В частности, в геометрии группой называется совокупность всех ортогональных (зеркальных) преобразований, совмещающих фигуру саму с собой.) Теория групп как самостоятельная область математики оформилась на рубеже XIX— XX вв. (М.С. Ли и др.) на базе идей, сложившихся в XIX в. в теории решения алгебраических уравнений в радикалах (Н. Абель, Э. Галуа), «Эрлангенская программа» Ф. Клейна, теория чисел (К. Гаусс и др.). В становлении релятивистской квантовой теории большую роль играло изучение симметрий уравнений теории поля. В самом общем плане такие симметрии делятся на внешние, связанные со свойствами пространства-времени, и внутренние, связанные со свойствами элементарных частиц. Примером внешней симметрии является симметрия законов квантовых объектов относительно пространственной инверсии (Р), обращения времени (Т) и зарядного сопряжения (С), т.е. замены частиц на соответствующую античастицу. Была доказана важная «теорема СРТ», согласно которой уравнения квантовой теории поля не меняют своего вида, если одновременно провести следующие преобразования: заме- 369 нить частицу на античастицу, осуществить пространственную инверсию (заменить координату частицы r на —r), обратить время (заменить t на —t). Обнаружение в экспериментах отдельных нарушений этой теоремы для слабых взаимодействий является предпосылкой для представления о возможности вообще спонтанного нарушения симметрий в микромире. Но, кроме внешних, существуют еще и внутренние симметрии, связанные со свойствами самих частиц, а не со свойствами пространства-времени. Как мы уже отмечали, каждая группа частиц характеризуется прежде всего своими специфическими законами сохранения. А каждый из законов сохранения рассматривается как проявление определенной внутренней симметрии уравнений поля. Подключая те или иные внутренние симметрии, можно как бы осуществлять переход от описания характеристик одной частицы к описанию характеристик другой. Так, «отключив» в уравнениях поля законы сохранения, присущие электромагнитному и слабому взаимодействиям, мы приходим к полному отождествлению протона и нейрона, они становятся неотличимыми друг от друга. Среди внутренних симметрий уравнений поля, соответствующих законам сохранения, особую роль играют калибровочные симметрии. Несколько слов о калибровочных симметриях вообще. Система обладает калибровочной симметрией, если ее существенные свойства остаются неизменными при изменении уровня, масштаба или значения некоторой физической величины. Например, в физике работа зависит от разности высот, а не от абсолютной высоты; напряжение — от разности потенциалов, а не от их абсолютных величин и др. — 287 —
|