Другая история науки. От Аристотеля до Ньютона

Переход от чисел к их логарифмам и обратно требует громоздких и точных таблиц. Сначала Кеплер составлял их сам; но в 1614 году появились подробные таблицы логарифмов Чарльза Непера. За 20 лет упорного труда этот шотландец рассчитал не только логарифмы чисел, но и логарифмы значений всех тригонометрических функций: они постоянно встречаются в астрономических расчетах.

Логарифмический метод

Умножение, деление, возведение в степень и извлечение корня – действия, гораздо более трудоемкие, чем сложение и вычитание, особенно тогда, когда нужно работать с многозначными числами. Настоятельная потребность в таких действиях впервые возникла в XVI веке в связи с развитием дальнего мореплавания, вызвавшим усовершенствование астрономических наблюдений и вычислений. На почве астрономических расчетов и возникли на рубеже XVI и XVII веков логарифмические вычисления, а в настоящее время они применяются повсюду, где приходится иметь дело с многозначными числами. Они выгодны уже при действиях с четырехзначными числами и совершенно необходимы в тех случаях, когда точность должна доходить до пятого знака. Большая точность на практике требуется очень редко.

Ценность логарифмического метода состоит в том, что он сводит умножение и деление чисел к сложению и вычитанию – действиям менее трудоемким. Возведение в степень, извлечение корня, а также и ряд других вычислений (например тригонометрических) также значительно упрощаются.

Выясним идею метода на примерах.

Пусть требуется помножить 10 000 на 100 000. Конечно, мы не станем выполнять этого действия по схеме умножения многозначных чисел. Мы просто сосчитаем число нулей в множимом (4) и множителе (5), сложим эти числа (4+5 =9) и сразу напишем произведение 1 000 000 000 (9 нулей). Законность такого вычисления основана на том, что сомножители суть (целые) степени числа 10: множится 10n на 10m; при этом показатели степеней складываются. Точно так же сокращенно выполняется и деление степеней десяти, здесь деление заменяется вычитанием показателей. Но так можно делить и умножать лишь немногие числа. Например, в пределах первого миллиона можно брать (не считая 1) лишь 6 чисел: 10, 100, 1000, 10 000, 100 000, 1 000 000. Чисел, допускающих подобное умножение и деление, будет гораздо больше, если взять вместо основания 10 другое, более близкое к 1. Возьмем, например, основание 2 и составим таблицу его первых 12 степеней.

Показатели степеней мы будем теперь называть логарифмами, а степени – просто числами.

Чтобы перемножить какие-либо два числа, достаточно сложить два их логарифма. Например, чтобы найти произведение 32 и 64, сложим стоящие рядом с 32 и 64 числа 5 и 6; 5+6 =11. У числа 11 находим результат: 2048. Чтобы разделить 4096 на 256, возьмем числа 12 и 8; вычитаем: 12-8 = 4. У числа 4 находим ответ: 16. Если ввести нулевую и отрицательную степени числа 2, то можно будет выполнять и деление меньших чисел на большие.