|
При ознакомлении с теорией сечений может возникнуть недоумение: как можно определять (действительные) числа через объекты, как будто, совершенно другой природы? Но это недоумение легко снимается. В самом деле, что такое числа? Можно считать, что это – такие сущности, которые могут находиться в определенных отношениях и над которыми можно производить определенные операции, причем эти отношения и операции обладают определенными свойствами (коммутативность, дистрибутивность и т. д.). Сечения как раз и могут находиться в отношениях равенства и неравенства и допускают такие операции над собой, которые обладают нужными свойствами. Определены же сечения, как считал Дедекинд, абсолютно четко и логично – они введены на основе рациональных чисел, по поводу которых никаких сомнений у математиков не возникает. Подход Дедекинда был заметным шагом вперед в уяснении «природы» математического анализа. Он позволил создать стройную теорию действительных чисел, в частности, доказать важную теорему о свойстве сплошности (непрерывности) множества действительных чисел, на которую опираются все главные теоремы анализа. Теория Дедекинда была основана, однако, на идее, которая впоследствии оказалась уязвимой для критики, на идее актуально бесконечного множества. К ее рассмотрению нам теперь и следует обратиться. В теории Вейерштрасса иррациональные числа понижаются как бесконечные непериодические дроби, то есть Ограниченно продолжающиеся вереницы цифр (например десятичных знаков), которые нельзя фактически выписать и вряд ли можно представить в воображении В теории Дедекинда всякое действительное число – это «компактная» система из двух объектов: левого и правого классов сечения во множестве рациональных чисел. И все же и в этой теории фатальный призрак трудностей, связанна с идеей бесконечности, призрак, преследующий математику с античных времен[70], не изгоняется, а лишь маскируется под нечто «конечнообразное»: ведь множества, образующие левый и правый классы, бесконечны. Дедекиндово построение хорошо раскрывает нам образ мышления, который был присущ нескольким поколениям ученых. Всмотримся пристальнее в ход рассуждений, ведущих к определению действительного числа по Дедекинду. В нем можно усмотреть два пункта, уязвимых для критики. Пункт первый. Каждый из двух классов сечения мыслится как единый объект, как нечто данное сразу и целиком. Но ведь бесконечное множество нельзя за конечное время перебрать «поэлементно», и его задание ‑ «эффективное» задание, то есть такое, при котором с ним можно «фактически» работать, требует указания метода установления того, что произвольный элемент принадлежит или не принадлежит данному множеству. Иногда такой метод, однако, может приводить к выкладкам, которые нельзя реально осуществить. Именно так обстоит дело в теории Дедекинда, которая предполагает, что для любого сечения мы умеем ответить на вопрос, к какому из двух его классов – левому или правому – принадлежит произвольное рациональное число. — 56 —
|