Tertium Organum: ключ к загадкам мира

* Роберто Бонола. Неэвклидова геометрия. СПб., 1910, с. 77.

геометрии на вогнутой поверхности — меньше двух прямых.

В геометрии на поверхности с неправильной кривизной верна только первая аксиома, вторая — о переносе фигур, уже невозможна, так как фигу­ра, взятая в одном месте неправильной поверхнос­ти, может измениться при переносе на другое мес­то. И сумма углов треугольника может быть и больше, и меньше двух прямых.

Таким образом, аксиомы выражают различие свойств различного рода поверхностей. Геометри­ческая аксиома есть закон данной поверхности.

Но что такое поверхность?

Заслуга Лобачевского в том, что он находил не­обходимым пересмотреть основные понятия геомет­рии. Но он никогда не шел так далеко, чтобы пере­оценить эти понятия с точки зрения Канта. В то же время он ни в каком случае не возражал против Канта. Поверхность в уме Лобачевского как гео­метра, была только средством обобщения некото­рых свойств, в которых строилась та или другая геометрическая система, или обобщением свойств данных линий. О реальности или нереальности по­верхности он, вероятно, совсем не думал.

Таким образом, с одной стороны, совершенно не прав Бонола, который приписывает Лобачевскому воззрения, противоположные кантовским, и бли­зость к «сенсуализму» и «обычному эмпиризму», — а с другой стороны, можно думать, что Хинтон со­вершенно субъективно приписывает Гауссу и Лоба­чевскому, что они открыли новую эру в философии.

Неэвклидова геометрия, в том числе и геометрия Лобачевского, не имеет никакого отношения к метагеометрии.

Лобачевский не выходит из сферы трех измере­ний.

Метагеометрия рассматривает сферу трех изме­рений как разрез высшего пространства. Из математиков ближе всех к этой идее стоял Риман, по­нимавший отношение времени к пространству.

Точка трехмерного пространства есть разрез ме-тагеометрической линии. Линии, которые рассмат­ривает метагеометрия, нельзя обобщить ни в какой поверхности. Это последнее, может быть, самое важное для определения различия геометрии (эвк­лидовой и неэвклидовой) и метагеометрии. Метаге-ометрические линии нельзя рассматривать как рас­стояние между точками в нашем пространстве. И нельзя представить себе образующими какие-либо фигуры в нашем пространстве.

Рассмотрение возможных свойств линий, лежа­щих вне нашего пространства, их углов и отноше­ний этих линий и углов к линиям, углам, поверх­ностям и телам нашей геометрии и составляет предмет метагеометрии.