|
Но математика в вопросе об измерениях видит как будто больше нас или дальше нас, через какие-то грани, которые останавливают нас, но не стесняют ее, — и видит, что нашим понятиям измерений не соответствуют никакие реальности. Если бы три измерения соответствовали действительно трем степеням, то мы имели бы право сказать, что только три степени относятся к геометрии, а все остальные отношения высших степеней, начиная с четвертой, лежат за геометрией. Но у нас нет даже этого. Изображение измерений степенями совершенно условно. Вернее сказать — геометрия с точки зрения математики есть искусственное построение для разрешения задач на условных данных, выведенных, вероятно, из свойств нашей психики. Систему исследования «высшего пространства» Хинтон называет метагеометрией, и он связывает с метагеометрией имена Лобачевского, Гаусса и других исследователей неэвклидовой геометрии. Мы должны рассмотреть, в каком отношении к затронутым нами вопросам находятся теории этих ученых. Хинтон выводит свои идеи из Канта и Лобачевского. Другие, наоборот, противопоставляют идеи Канта идеям Лобачевского. Так, Роберто Бонола в «Неэвклидовой геометрии» говорит, что воззрение Лобачевского на пространство противоположно кантовскому. Он говорит: Учение Канта рассматривает пространство как некоторую форму субъективного созерцания, необходимо предшествующую всякому опыту; учение Лобачевского, примыкающее скорее к сенсуализму и обычному эмпиризму, возвращает геометрию в область опытных наук*. Какой же взгляд правилен и в каком отношении стоят идеи Лобачевского к нашей проблеме? Вернее всего будет сказать: ни в каком отношении. Неэвклидова геометрия не есть метагеометрия, и неэвклидова геометрия стоит к метагеометрии в таком же отношении, как Эвклидова геометрия. Результаты всей неэвклидовой геометрии, подвергшей переоценке основные аксиомы Эвклида и нашедшей свое наиболее полное выражение в работах Больяйя, Гаусса и Лобачевского, выражается в формуле: Аксиомы данной геометрии выражают свойства данного пространства. Так, геометрия на плоскости принимает все три аксиомы Эвклида, то есть: 1) прямая линия есть кратчайшее расстояние между двумя точками; 2) каждую фигуру можно переносить на другое место, не нарушая ее свойств; 3) параллельные линии не встречаются. (Эта последняя аксиома обыкновенно выражается по Эвклиду иначе). В геометрии на сфере или на вогнутой поверхности верны только две первые аксиомы, так как меридианы параллельные у экватора у полюсов уже встречаются. Причем в геометрии на сфере сумма трех углов треугольника более двух прямых, а в — 59 —
|