Продуктивное мышление

Некоторые говорят: «Конечно, вы можете доказать это, если захотите. Разрежьте лист по вертикали, переверните

129

половину листа и наложите один угол па другой. По­смотрите углы на свет. Вы увидите, что они совпадают». Если я говорю: «Согласен, они совпадут, но можете ли вы показать здесь, на чертеже, что они равны?» — то боль­шинство испытуемых не знают, что делать. Некоторые по-

Рис. 57

гружаются в глубокие раздумья, которые могут быть мало­продуктивными.

Сначала я расскажу, что происходит в школах.

I

Учитель доказывает теорему. Он проводит линии, обоз­начает углы и продолжает следующим образом:

a + b =180°

b + c =180°

a = 180° - c

с =180° - b

а = с, что и требовалось доказать.

Рис. 58

Можно описать этот процесс в терминах традицион­ной логики или ассоциативной теории. Учитель показы­вает ряд последовательных операций, производит сложе­ния, пишет равенства, преобразует их и наконец получает результат. Он может начать с аксиом или некоторых об­щих положений и применить их к данному случаю. Уче­ники заучивают доказательство и после этого могут по­вторить его.

130

Конечно, доказательство может быть описано в терми­нах ряда операций, и для проверки его валидности их необходимо рассмотреть. Но является ли такая совокуп­ность нескольких операций тем, что действительно отра­жает существо дела?

Через несколько дней учитель вызывает ученика к лоске и просит доказать равенство углов. Если теперь уче­ник слово в слово повторяет то, чему научил его учитель, то мы не знаем, повторяет ли он услышанное слепо, раб­ски или же действительно постиг доказательство, понял его.

Бывает, что ученик не вспоминает доказательство точ­но и пишет:

a + b = 180°

c + d = 180°

затем смело говорит: «Следовательно, а—c». Другие те­ряются, выглядят туповатыми и сконфуженными. Неко­торые могут написать:

a + b = 180°

b + c = 180°

а = 180° - b

b = 180° - c

и оказываются в равной степени беспомощными 1.

Но вы также сталкиваетесь со следующими дейст­виями:

a + d= 180°

с + d= 180°

а =с

Некоторые ученики, видя это, смеются: «Посмотрите! Он сделал две ошибки!» Но действительно хороший ученик говорит или, может быть, говорит себе: «Почему я должен заботиться о словах. Неважно, как я это сделаю». Учитель спрашивает, не может ли он написать доказательство точно в той форме, в которой оно было дано, и он уверен­но пишет: