|
До сих пор не выдвинуто аргументов против моей гипотезы. Вероятно, все известные нам методы построения многообразий Калаби-Яу ведут только к конечному числу многообразий. Важно найти другие способы построения многообразий, но после двух десятков лет поисков никто не представил новый метод, ведущий к бесконечному набору многообразий. В 1993 году Марк Гросс ближе всех подошел к решению этой задачи. Он доказал, что если рассматривать Калаби-Яу как четырехмерную поверхность с двухмерными бубликами, присоединенными к каждой из ее точек, то получается только конечное число поверхностей. «Подавляющее большинство известных многообразий Калаби-Яу попадают в эту категорию, которая оказывается конечным множеством», — говорит Гросс. Это главная причина, по которой он поддерживает «конечную» гипотезу. С другой стороны, Гросс отмечает, что множество многообразий не попадают в эту категорию, и мы безуспешно пытаемся доказать что-либо в отношении них.[193] Так что вопрос остается открытым. Эта не разрешенная до конца проблема подводит нас ко второму, также нерешенному вопросу, впервые поставленному Ридом в 1987 году: существует ли способ, с помощью которого можно связать все многообразия Калаби-Яу? Или в постановке Рида: «Все эти разновидности Калаби-Яу обладают всеми видами топологических характеристик. Но если посмотреть на проблему шире, то можно заметить, что все это, возможно, одно и то же. Конечно, это безумная идея, которая, вероятно, неверна. Тем не менее…» Фактически, Рид считал идею настолько странной, что он никогда не называл ее гипотезой, предпочитая говорить вместо этого «фантазия». Но он все еще верит, что кто-то, может быть, докажет ее.[194] Рид допускал, что все многообразия Калаби-Яу можно связать посредством чего-то, названного им конифолдным переходом . Идея, разработанная в 1980-е годы математиками Хербом Клеменсом из Университета Юты и Робертом Фридманом из Колумбийского университета, описывает, что происходит с многообразиями Калаби-Яу при перемещении их через особый вид сингулярности. Как всегда, концепцию легче показать на двухмерном торе. Вспомним, что тор всегда можно представить как множество окружностей, присоединенных к окружности, представляющей дырку. Теперь возьмем одну из множества окружностей и сожмем ее в точку. Мы получим сингулярность, потому что любое другое место на поверхности является гладким. Итак, на этом крошечном участке, так называемой конифолдной сингулярности, два маленьких конуса сходятся вместе. Далее вы должны проделать операцию, которую математики называют хирургической и которая включает вырезание проблемной точки и замену ее двумя другими точками. Затем мы можем разделить эти две точки, разведя их так, чтобы получилась фигура, имеющая форму рогалика. Далее, мы изменим топологию рогалика, превратив его в топологический эквивалент — сферу. И на этом не будем останавливаться. Предположим, что на следующем этапе мы вытягиваем сферу так, что она снова становится похожей на рогалик. Затем мы соединяем концы рогалика с получением тора, но при этом дополнительно перекручиваем сферу. Таким образом, мы получаем тор с другой топологией и двумя дырками вместо одной. Если мы будем продолжать этот процесс неопределенно долгое время, включая дополнительные перекручивания или дырки, то мы, в конце концов, получим все возможные двухмерные торы. Следовательно, конифолдный переход представляет собой способ связывания топологически разных торов через промежуточную форму (в нашем случае сферу) и эта общая процедура работает и для других нетривиальных видов многообразий Калаби-Яу. — 205 —
|