|
Примечательно, что, несмотря на количество исследований в этой области с момента, как я доказал существование этих многообразий в 1976 году, появилось много простых, даже шокирующее простых вопросов, на которые мы не можем дать ответ, например сколько всего топологически различных многообразий Калаби-Яу? Их число конечно или бесконечно? И связаны ли между собой многообразия Калаби-Яу? Начнем с первого вопроса: сколько существует топологически различных видов или семейств многообразий и входит ли в них Калаби-Яу? Скажем кратко: мы не знаем, хотя попытки ответить на этот вопрос были. Более чем 470 миллионов трехмерных Калаби-Яу были созданы с помощью компьютера. Для них мы построили более чем 30 000 ромбов Ходжа, то есть по крайней мере 30 000 разных топологий. (Ромбы Ходжа, как вы помните из седьмой главы, представляют собой массивы размером 4?4, которые суммируют основную топологическую информацию о трехмерном многообразии.) Однако число может быть значительно больше, чем 30 000, так как два многообразия могут иметь один и тот же ромб Ходжа, но отличаться по топологии. «Никаких систематических попыток не было сделано для оценки количества топологических типов главным образом потому, что пока не удается однозначно провести различия между такими трехмерными многообразиями, — объясняет физик Гарвардского университета Тристан Хабш. — Мы все еще не имеем четкого “идентификационного номера” для многообразия Калаби-Яу. Мы знаем, что ромб Ходжа является частью его, но он не определяет многообразие однозначно. Он больше похож на регистрационный номер автомобиля».[191] Мы не только не знаем, действительно ли число многообразий Калаби-Яу чуть больше или намного больше, чем 30 000, но мы даже не знаем, конечное это число или нет. В начале 1980-х годов я выдвинул гипотезу, что это число — конечное, но математик Майлз Рид из Университета Варвика придерживается противоположной точки зрения, утверждая, что оно бесконечно. Было бы неплохо узнать, кто из нас прав. «Я полагаю, что для физиков, которые надеются, что многообразий Калаби-Яу очень мало, обнаружение того факта, что это число является бесконечным, только усугубит ситуацию, — говорит Марк Гросс из Калифорнийского университета, Сан-Диего. — С математической точки зрения это не имеет значения. Мы же хотим знать ответ. Мы хотим осознать все количество многообразий Калаби-Яу. Предположение о том, что их число конечно, правильное оно или неправильное, служит своего рода мерилом нашего понимания».[192] А с чисто практической точки зрения, если набор многообразий является конечным, независимо от его величины, вы всегда можете взять среднее значение. Но мы не знаем, как взять среднее значение бесконечного числа объектов, и это усложняет характеристику этих объектов. — 204 —
|