|
Грубо говоря, голономия является мерой, характеризующей поведение касательных векторов для определенной поверхности при попытке их параллельного переноса по петле, охватывающей данную поверхность. Представьте, к примеру, что вы стоите на Северном полюсе и держите в руке копье, направленное по касательной к земной поверхности. Сначала вы движетесь строго в направлении экватора вдоль того направления, в котором указывает ваше копье. Достигнув экватора, вы обнаружите, что теперь ваше копье направлено перпендикулярно экватору в сторону Южного полюса. После этого, двигаясь по экватору, вы обходите половину земной окружности, держа копье направленным на юг. Пройдя это расстояние, вы вновь держите путь на Северный полюс, не меняя направления копья. Оказавшись на Северном полюсе, вы неожиданно обнаружите, что, несмотря на все ваши старания, копье, которое вы держали в руках, оказалось повернутым на 180 градусов относительно первоначального направления. Мы могли бы повторить этот процесс любое число раз, совершая более длинные или более короткие путешествия вдоль экватора, каждый раз обнаруживая, что копье повернулось на некоторый угол, иногда меньше 180 градусов, иногда больше — в зависимости от длины нашего пути по экватору. Для того чтобы определить голономию нашей планеты, которую в первом приближении можно считать двухмерной сферой, рассмотрим все возможные пути — или все возможные петли, — которые можно проложить на ее поверхности. Оказывается, на поверхности сферы можно получить любой наперед заданный угол поворота от 0 до 360 градусов, делая соответствующую петлю больше или меньше. Можно даже получить угол больше 360 градусов, пройдя один и тот же путь два или более раз. Принято говорить, что двумерная сфера относится к группе голономии SO(2) или к специальной ортогональной группе 2, содержащей в себе все возможные углы. Сферы более высоких размерностей относятся к группам SО(n ), содержащим все возможные вращения, сохраняющие ориентацию, а n относится к числу измерений. Рис. 6.1. Одним из способов классификации пространства или поверхности является его классификация при помощи голономии , показывающей, что происходит с касательным вектором при параллельном переносе в таком пространстве — то есть перемещении, при котором мы стремимся сохранить направление вектора, несмотря на искривленность траектории. В данном примере, взяв на северном полюсе касательный вектор, направленный в точку А, мы начинаем движение в сторону экватора. По достижении экватора оказывается, что вектор теперь направлен на юг. Сохраняя это направление, мы перемещаемся вдоль экватора из точки А в точку В, проходя при этом половину земной окружности. После этого мы опять движемся на северный полюс, вновь сохраняя направление вектора неизменным. Оказавшись на северном полюсе, мы неожиданно обнаруживаем, что вектор оказался повернутым на 180 градусов относительно первоначального направления, несмотря на все наши попытки сохранить его направление неизменным — 120 —
|