Механика от античности до наших дней

Не останавливаясь на других работах Эйлера по небесной механике, в частности по движению планет, и на его позднейшей новой теории Луны, заметим еще, что в них содержатся и важные результаты по общей механике, специально по динамике системы точек. Эти результаты были подытожены вместе с его открытиями по теории движения твердого тела в большом труде, законченном в 1760 и опубликованном в 1765 г.

Своему труду по динамике твердого тела — «Трактату о движении твердых тел» — Эйлер предпосылает большое введение из шести глав, в котором вновь излагает динамику точки. Это позволяет читателю не обращаться к «Механике», вышедшей почти тридцатью годами ранее. В отличие от прежнего изложения Эйлер приводит уравнения движения точки, пользуясь проектированием на оси неподвижных прямоугольных координат. Следующий за введением «Трактат о движении твердых тел» состоит из 19 глав. В основу положен принцип Даламбера, высказанный французским математиком в «Трактате о динамике» (1743). Принцип Даламбера, сводящий задачи динамики несвободной системы к рассмотрению равновесия некоторой системы действительных и фиктивных сил, Эйлер формулирует в первой главе своего «Трактата». Он вводит понятие элементарной силы, приложенной к точке тела в любой момент его движения, как силы, которую следовало бы к ней приложить, чтобы, будучи свободной, она совершила то же самое движение. Принцип Даламбера выступает при этом как положение о равновесии между элементарными силами и данными внешними силами.

Коротко остановившись на поступательном движении твердого тела и введя понятие центра инерции, Эйлер переходит к рассмотрению вращения вокруг неподвижной оси и вокруг неподвижной точки. Здесь подробно разработан аппарат разнообразных формул для проекций мгновенной угловой скорости, углового ускорения на оси координат, используются так называемые углы Эйлера (впервые введенные им в 1748 г.). Далее изучены свойства момента инерции и вычислены моменты инерции ряда плоских и пространственных фигур. Главные оси определяются с помощью их экстремальных свойств (эллипсоид инерции еще отсутствует). В следующих главах разработана самая динамика твердого тела. Особый интерес представляет X глава, где рассмотрена задача о вращении твердого тяжелого тела вокруг его неподвижного центра тяжести при отсутствии внешних сил.

В двух следующих главах Эйлер решает задачу для случаев трех или двух равных главных моментов инерции. В случае попарно неравных моментов при отсутствии внешних сил он выражает закон движения через дуги конических сечений, т. е. через эллиптические интегралы, и рассматривает условия, при которых дело сводится к элементарным интегралам. Мы не будем останавливаться на дальнейшей истории этой основополагающей в теории гироскопа задачи, ставшей предметом изысканий многих ученых. Скажем лишь, что первый шаг вперед сделал вскоре Лагранж, давший решение для случая, когда два главных момента инерции равны, а центр тяжести тела лежит на оси третьего момента (в дифференциальные уравнения входят тогда дополнительные члены, зависящие от координат центра тяжести). Новые глубокие исследования проведены были лишь через сто лет С.В. Ковалевской.