|
Особое значение в развитии механики и математики имеет последняя глава второго тома о движении точки на данной поверхности, в которой Эйлер развил учение о кривизне плоских сечений поверхностей и о геодезических линиях на поверхности. «Механика» Эйлера сразу привлекла к себе внимание ученого мира. С высокой похвалой отозвался о ней в письме 6 ноября 1737 г. к автору И. Бернулли. В том же году появилось подробное изложение книги в издававшейся группой немецких ученых «Bibliotheque germanique» (т. 39), а еще год спустя восторженный отзыв был опубликован в лейпцигских «Nova acta eroditorum». Через восемь лет после выхода «Механики» Эйлер обогатил эту науку первым точным выражением принципа наименьшего действия. Принцип наименьшего действия, как известно, состоит в том, что для каждой физической системы существует некоторая величина, именуемая действием, которая принимает экстремальное значение при действительно происходящем движении. Идея принципа зародилась в оптике. П. Ферма (1601 — 1665) дал в 1662 г. вывод закона преломления света, исходя из принципа кратчайшего времени. Затем эта идея была подхвачена И. Бернулли, а в 1744—1746 гг. ее развил применительно к механике П. Мопертюи (1698—1759). Принцип Мопертюи гласит: « Когда в природе происходит некоторое изменение, количество действия, необходимое для этого изменения, является наименьшим возможным»150. Свой принцип Мопертюи обосновывал с помощью метафизических и теологических доводов и пытался найти в нем новые аргументы в пользу существования бога как творца целесообразных законов природы. В случае механического движения Мопертюи понимал под действием величину mvs, т. е. произведение массы, скорости и пути, проходимого телом. Эта величина должна быть минимальна при движении; при покое же, т. е. равновесии, тела должны располагаться так, что если бы они совершили малое движение, то возникшее при этом количество действия было бы наименьшим. Из этих принципов Мопертюи выводил законы рычага и удара. Математическое выражение принципа Мопертюи было весьма ограниченным. Эйлер самостоятельно пришел к собственной формулировке принципа наименьшего действия в ходе занятий проблемами вариационного исчисления. Уже в конце 20-х годов XVIII в. он приступил к систематической работе в этой новой области математики, успешно продолжив исследования, начатые тридцатью годами ранее Иоганном и Якобом Бернулли. Результаты, полученные Эйлером на протяжении 15 лет и частью публиковавшиеся в записках Петербургской академии, были суммированы в большом трактате «Метод нахождения кривых линий, обладающих свойствами максимума или минимума», вышедшем в 1744 г. В этой работе содержится первая научная формулировка принципа наименьшего действия. Эйлер был уверен в существовании экстремальных законов, характерных для всех физических явлений. И он, подобно Мопертюи, еще соединял это положение с теологическими и телеологическим» соображениями: великий математик был верующим человеком. «Так как, — писал Эйлер, — все явления природы следуют какому-нибудь закону максимума или минимума, то нет никакого сомнения, что и для кривых линий, которые описывают брошенные тела, если на них действуют какие-нибудь силы, имеет место какое-то свойство максимума или минимума»151. Далее он замечает, что определить подобное свойство «из принципов метафизики a priori» не так легко. Однако, поскольку те же кривые линии можно определить с помощью прямого метода, то, «приложив должное внимание, можно будет заключить о том, что в этих кривых является максимумом или минимумом»152. Рассуждения Эйлера привели его к выводу, что для траекторий, описываемых под действием центральных сил, экстремальное значение должен иметь интеграл — 132 —
|