Фигуры Вселенной. От Менделеева до Джанибекова

В-третьих, есть еще одно следствие из этого «метафизического» метода. Применим его, чтобы определить количество степеней свободы поступательного и вращательного движений в n-мерных математических пространствах Vn, где целочисленное n ? N. При этом там, где это допустимо, мы проводим редукцию от математического пространства Vn к физическому пространству Vn, зная, что математика как наука возникла из науки физики вследствие количественного обобщения ее опыта. То есть математика возникла из природы окружающих явлений благодаря их количественному обобщению, благодаря возникновению абстракции числа.

Количество N степеней свободы движения в пространстве целочисленной размерности Vn задается формулой N(Vn) = 2n. Это есть сумма числа сочетаний C в разложении бинома ? = (a + b)n по степеням слагаемых a и b под скобками. Нетрудно проверить эту формулу, если положить a = 1, b = 1. В пространстве целочисленной размерности n число степеней свободы вида движения с номером m будет C = . По этой формуле можно определить, сколько степеней свободы поступательного и вращательного движения имеется в пространстве четырех размерностей V4.

Проверим формулу для количества степеней свободы, начиная от n = 0 и заканчивая n = 4. Число сочетаний из n элементов по m элементам есть = . Применяя эту известную формулу, найдем количества степеней свободы в n-мерном пространстве. Они помещены в таблице N(Vn):

Из таблицы мы видим, что минимальное число красок, требуемых для покрытия участков без их наложения, с или без их общей протяженной границы в многосвязной области V ? Vn, есть (вспомним проблему четырех красок на плоскости). Минимальное число красок в пространстве Vn равно числу степеней свободы в Vn. Поступательных и вращательных движений в пространстве V0 (в точке) нет, но есть ее движение как целого (вращение, становление) – всего 20 = 1 степень свободы (одна краска). В линейном пространстве V1 (например, на прямой) есть только поступательное движение и нет вращения, за исключением собственного вращения прямой как целого (стержень вращается вокруг собственной оси) – всего 21 = 2 степени свободы (две краски). В (локально) плоском пространстве V2 (на двумерной поверхности) есть две степени свободы поступательного движения, одна степень свободы вращательного движения (вектор вращения в точке направлен ортогонально поверхности) и одна степень движения (вращения) пространства V2 как целого – всего 22 = 4 степени свободы (4 краски). В пространстве V3 имеется три степени свободы поступательного движения и три степени свободы вращательного движения (это фиксирует наблюдатель), одна степень свободы вращения пространства как целого и одна степень свободы 3-мерного вращения (это показывает метафизика математической индукции) – всего 23 = 8 степеней свободы (8 красок). В 4-мерном пространстве V4 имеется 4 степени свободы поступательного движения, 6 степеней свободы вращательного движения в плоскости, 4 степени свободы 3-мерного вращения, а также одна степень свободы вращения пространства V4 как целого и одна степень свободы 4-мерного вращения (проекции из пространства V5?) – всего 24 = 16 степеней свободы (16 красок). На рисунке 4к изображена двумерная многосвязная замкнутая (шарообразная) или ограниченная область, раскрашенная четырьмя красками. Степеней свободы в двумерном пространстве V2 тоже четыре: С20 + С21 + С22 = 1 + 2 + 1 = 4.