Россия земная и небесная

И только много лет спустя я узнал, что метод сечений относится к середине девятнадцатого века, так что в тот момент, когда его нам давали, это был уже анахронизм. Но Никольский не являлся специалистом по математической логике, которая одна может решить, какое рассуждение является строгим, а какое нет, да в то время ею у нас никто всерьез не занимался, кроме, пожалуй, Новикова-старшего, так что представления о строгости были туманными даже у корифеев анализа. Марксистские идеологи, которых все побаивались, презрительно называли математическую логику «формальной логикой» и противопоставляли ей «диалектическую логику», которую в математике никуда не приспособить. Так и побратались мы с этими сечениями, которые, уверен, каждый из нас запомнил на всю жизнь. А это был всего лишь один из вариантов искусственных построений, которыми пытались обосновать анализ в период увлечения теорией множеств. Все они были логически эквивалентными между собой и с современной точки зрения логически несостоятельными. Исходным понятием была в них актуальная бесконечность – бесконечное множество, представленное сразу всеми своими элементами и рассматриваемое как единый объект, с которым будто бы можно обращаться точно так же, как с любым конечным объектом. Считалось, что это понятие открыто интуиции всякого человека, так что в разъяснениях не нуждается. На самом же деле такая интуиция присуща только профессиональным математикам, и это даже не интуиция, а привычка, вырабатываемая в результате частого употребления этого понятия, простота которого обманчива. В начале нашего века выяснилось, что обращаться с ним надо крайне осторожно: в теории множеств обнаружились неустранимые внутренние противоречия. С какого-то момента специалистам стало ясно, что на рассуждения, в которых фигурируют актуально-бесконечные множества, нельзя очень-то полагаться, ибо они могут здорово подвести. Так начался возврат к тому представлению о строгости, какое принималось всеми учеными до начала теоретико-множественного бума: строгость есть логика плюс арифметика, а все, что сверх того, – от лукавого.

Но и тут математикам не повезло: в начале тридцатых годов Гедель показал, что и логико-арифметический метод ненадежен, так как страдает неполнотой, а может быть, и внутренней противоречивостью. А в конце семидесятых, после того как была доказана теорема Париса-Харрингтона, стало известно, что анализ принципиально невозможно свести даже к такой не совсем надежной связке, как логика с арифметикой.

В общем, уже в начале нашего столетия дедекиндовы сечения были отголоском старины, и некоторые математики полагали даже, что их автор давно умер, как умерли Коши и Риман. А он был еще жив! Свои сечения он изобрел в молодом возрасте, и с тех пор не напоминал о себе ничем значительным, поэтому, встречая его имя только в учебниках, профессора и студенты относили его к классикам. Это заблуждение было настолько прочным, что в каком-то календаре была напечатана даже дата его смерти. Календарь попал к нему в руки, и он отправил в редакцию письмо следующего содержания: «С интересом ознакомился с информацией о дате моей кончины. Что касается месяца и числа, тут спорить не буду, может быть, вы окажетесь правы, однако насчет года никак не могу с вами согласиться, ибо прекрасно помню, что в течение всего того года чувствовал себя превосходно».