|
Создание неевклидовой геометрии обычно представляется в виде решения известной проблемы пятого постулата геометрии Евклида. Эта проблема заключалась в следующем. Основу всей геометрии, как это следовало из системы Евклида, представляли пять следующих постулатов: 1) через две точки можно провести прямую, и притом только одну; 2) любой отрезок может быть продолжен в любые стороны до бесконечности; 3) из любой точки как из центра можно провести окружность любого радиуса; 4) все прямые углы равны; 5) две прямые, пересеченные третьей, пересекутся с той стороны, где сумма внутренних односторонних углов меньше 2d. Уже во времена Евклида стало ясно, что пятый постулат слишком сложен по сравнению с другими исходными положениями его геометрии. Другие положения казались очевидными. Именно из-за их очевидности они рассматривались как постулаты, т.е. как то, что принимается без доказательств. Вместе с тем еще Фалес доказал равенство углов при основании равнобедренного треугольника, т.е. положение, значительно более простое, чем пятый постулат. Отсюда ясно то, почему к этому постулату всегда относились с подозрением и пытались представить его теоремой. И у самого Евклида геометрия строилась так, что сначала доказывались те положения, которые не опираются на пятый постулат, а потом уже этот постулат использовался для развертывания содержания геометрии. Интересно то, что пятый постулат геометрии Евклида стремились доказать как теорему, сохраняя при этом убежденность в (260) его истинности, буквально все крупные математики, вплоть до Н.И. Лобачевского, Ф. Гаусса и Я. Больяи, которые в конце концов и решили проблему. Их решение складывается из следующих моментов: — пятый постулат геометрии Евклида действительно является постулатом, а не теоремой; — можно построить новую геометрию, принимая все евклидовы постулаты, кроме пятого, который заменяется его отрицанием, т.е. например, утверждением, что через точку, лежащую вне прямой, можно провести бесконечное число прямых, параллельных данной; В результате такой замены и была построена неевклидова геометрия. Поставим теперь следующие вопросы. — Можно ли считать, что только стремление доказать пятый постулат привело к созданию неевклидовых геометрий? — Почему в течение двух тысячелетий ни у кого не возникало даже мысли о возможности построения неевклидовой геометрии? Чтобы ответить на эти вопросы, обратимся к истории науки. До Н. И. Лобачевского, Ф. Гаусса, Я. Больяи на евклидову геометрию смотрели как на идеал научного знания. — 171 —
|