Об искусстве рассуждения

Площадь [фигуры] определяется величиной прямых, которые ее ограничивают, и величиной углов, образуемых этими прямыми. Следовательно, в двух выражениях: две площади равны и две площади ограничены равными пря­мыми, образующими одинаковые углы — содержится только одно предложение, выраженное двумя способами. Следовательно, предложения Площади двух треуголь­ников равны и Стороны этих треугольников равны опять-таки суть два тождественных предложения. Два треуголь­ника, которые содержат в себе прямоугольник, разделен­ный по диагонали, имеют, стало быть, равные площади, если их стороны равны и если они образуют одинаковые углы.

Ведь сказать, что два треугольника заключены таким образом в прямоугольнике,— это то же самое, как если бы

мы сказали, что они имеют одну общую сторону — диагональ прямоугольника — и что они имеют также одинаковое основание и одинаковую высоту, образуя одинаковые углы, т. е. сказать, что они имеют три равные стороны и равные площади, или, короче, равны во всем.

Но сказать, что они равны во всем,— значит сказать, что каждый из двух треугольников относится к прямоугольни­ку как половина к целой единице, а это предложение есть не что иное, как перевод предложения Прямоуголь­ник разделен на два равных треугольника.

Ведь высказывание Поверхность треугольника относит­ся к поверхности прямоугольника, имеющего то же основа­ние и ту же высоту, что и данный треугольник, как полови­на к целому и высказывание Площадь такого треугольника представляет собой половину площади этого прямоуголь­ника представляют собой по смыслу выражений два тож­дественных предложения.

Но мы видели, что площадь прямоугольника есть произведение высоты на основание; значит, предложение Площадь этого треугольника есть половина площади дан­ного прямоугольника будет тождественно предложению Площадь этого треугольника есть половина произведения его высоты на основание, или, как обычно выражаются, произведение высоты на половину основания.

Предстоит лишь узнать, равна ли площадь всякого дру­гого вида треугольника произведению высоты на половину основания.

Какова бы ни была форма треугольника, площадь кото­рого хотят узнать, из его вершины можно опустить перпен­дикуляр и этот перпендикуляр опустится на основание либо внутри треугольника, либо вне его.

Если он опустится внутри треугольника (рис. 3), он разделит его на два треугольника, у каждого из которых две стороны взаимно перпендикулярны и которые, следова­тельно, являются треугольниками того же рода, что и тре­угольник, который мы измерили. Значит, площадь каждого из них равна половине произведения высоты на основание.