История философии. Древняя Греция и Древний Рим. Том 1

(Утверждение Платона о том, что математические гипотезы – он упоминает «чет и нечет, фигуры, три вида углов и прочее в том же роде», – взятые в связи с главным принципом, познаются на более высоком уровне мышления, а также его утверждение, что этот уровень мышления связан с главным принципом, что самоочевидно, позволяют предположить, что он приветствовал бы современные попытки свести чистую математику к их логическим основаниям.)

Осталось вкратце рассмотреть самый верхний отрезок линии. Состояние ума, ???????, соответствующее ему, – это состояние ума человека, использующего в качестве отправной точки гипотезы рассудка и поднимающегося до первых принципов. Более того, в этом процессе (иными словами, в диалектическом процессе) ум не пользуется «никакими «образами», но лишь самими идеями в их взаимном отношении, и его выводы относятся только к ним». Четко осознав главные принципы, ум делает из них выводы, по–прежнему используя только абстрактные рассуждения, но отнюдь не чувственные образы9. Объекты, соответствующие уму, – это ???????? главные принципы или Формы. Это не только гносеологические, но и онтологические принципы, и более подробно они будут рассмотрены позже, однако следует упомянуть следующее. Если бы вся проблема заключалась только в том, чтобы познать главные принципы с помощью рассудка (как, например, в современных попытках редукции математики к ее логическим основаниям), тогда можно было бы без труда понять, что имел в виду Платон, но он называл диалектику способом «опровержения гипотез»10, что очень сильно сказано, поскольку хотя диалектика и способна показать необходимость пересмотра математических постулатов, однако трудно понять, хотя бы на первый взгляд, как она может опровергать гипотезы. Мысль Платона станет яснее, если мы рассмотрим одну конкретную гипотезу, которую он упоминает, – четные и нечетные числа. Платон признает существование чисел, которые не являются ни четными, ни нечетными, то есть иррациональных, а в «Послезаконии» он требует признать в качестве чисел квадраты и третьи степени «иррациональных величин». Если это так, то задача диалектики заключается в том, чтобы показать, что традиционная гипотеза математики, гласящая, что иррациональных чисел нет, а есть целые числа, которые могут быть либо четными, либо нечетными, не совсем соответствует истине. Опять же Платон отказался признать пифагорейскую идею «единичной точки» и называл точку «началом линии». По его мнению, единичная точка, то есть точка, имеющая свой собственный размер, – это выдумка геометров, «геометрическая фикция»11, и эту гипотезу следует отбросить.