Был ли Бог математиком?

Английский математик Г. Г. Харди, сам приверженец чистой математики, был одним из самых откровенных сторонников современного платонизма. В красноречивом обращении к Британской ассоциации содействия науки 7 сентября 1922 года он объявил следующее[116].

Математики построили очень много разных геометрических систем – и евклидовых, и неевклидовых, для одного, двух, трех и любого другого количества измерений. Все эти системы совершенно и одинаково истинны. Они воплощают результаты наблюдений математиков над их реальностью – реальностью куда более насыщенной и куда более строгой, нежели сомнительная и неуловимая реальность физики… Поэтому функция математика – просто наблюдать факты его собственной суровой и сложной системы реальности, этот неимоверно прекрасный комплекс логических соотношений, который составляет субъект его науки, как будто он – исследователь, взирающий на далекий горный хребет, и регистрировать результаты своих наблюдений на серии карт, каждая из которых – это отрасль чистой математики.

Очевидно, несмотря на то, что все свидетельства того времени указывали на произвольную природу математики, особо упорные платоники не собирались так просто сдаваться. Напротив – они считали, что возможность углубиться, по словам Харди, в «свою реальность», гораздо интереснее, чем и дальше исследовать связи с реальностью физической. Однако независимо от представлений о метафизической реальности математики одно стало очевидно. Даже необузданная на первый взгляд свобода математики предполагала одно несокрушимое и неизменное ограничение – требование логической непротиворечивости. Математики и философы сильнее прежнего понимали, что перерезать пуповину между математикой и логикой ни в коем случае нельзя. Это породило другую идею: можно ли выстроить всю математику на едином логическом фундаменте? И если да, не в этом ли тайна ее эффективности? И наоборот – можно ли применять математические методы при изучении логических рассуждений в целом? Ведь тогда математика станет не только языком природы, но и языком человеческой мысли…

Глава 7

Логики: размышления о рассуждениях

Вывеска на деревенской цирюльне гласит[117]: «Брею тех и только тех жителей деревни, кто не бреется сам». Казалось бы, резонно. Очевидно, что те, кто бреется сам, не нуждаются в услугах цирюльника, поэтому вполне естественно, что цирюльник бреет всех остальных. Но задайтесь другим вопросом – кто бреет цирюльника? Если он бреет сам себя, то, согласно вывеске, должен быть среди тех, кого не бреет. С другой стороны, если он сам себя не бреет, то должен, опять же согласно вывеске, быть среди тех, кого бреет! Так бреет или нет? История знает примеры, когда серьезные семейные склоки случались и по куда менее значительным вопросам. Об этом парадоксе первым написал Бертран Рассел (1872–1970), один из величайших логиков и философов ХХ века, – лишь для того чтобы показать, насколько часто логическая интуиция подводит человека. Парадоксы, они же антиномии, отражают ситуации, в которых вполне приемлемые на первый взгляд суждения приводят к неприемлемым следствиям. В вышеприведенном примере деревенский цирюльник и бреет, и не бреет себя самого. Можно ли разрешить этот парадокс? Одно из простейших решений парадокса – строго в том виде, в каком он приведен выше, – очень просто: цирюльник – женщина! С другой стороны, если бы нам сразу сказали, что цирюльник обязательно мужчина, то абсурдный вывод был бы результатом того, что мы приняли первоначальные суждения. Иначе говоря, такой цирюльник существовать не может. Но какое все это имеет отношение к математике? Оказывается, математика с логикой состоят в ближайшем родстве. Вот как описал эти узы сам Рассел[118].