|
В изучении поверхностей Гаусс широко использовал параметрическое представление, введенное Эйлером, осуществляя внутреннее представление поверхности как двумерное изображение. Координаты точки (х, y, z) заданы тремя уравнениями в зависимости от двух параметров: х = х(u, v); у = у(u, v); z = z(u, v). Можно сказать, что стилистически «Общие исследования о кривых поверхностях» — самая совершенная работа Гаусса. Ее аналитическое, прямое и очень лаконичное изложение позволяет представить каждую геометрическую идею в полной форме. Как признавался сам Эйнштейн, «теории относительности не существовало бы без геометрии Гаусса». ГАУСС И ФИЗИКА Ключевым в жизни Гаусса был 1831 год. За год до этого его сын Ойген уехал в США из-за семейных размолвок, а в этом году умерла Минна, вторая супруга ученого, — возможно, от туберкулеза, и его дочь Тереза взяла на себя ведение хозяйства. В конце этого же года в Гёттинген приехал Вильгельм Вебер, чтобы занять место преподавателя физики. С этого момента павший было духом Гаусс вновь нашел в науке спасение от своих семейных бед. Как в научных, так и в дружеских отношениях между Гауссом и Вебером царила полная гармония; Вебер познакомил математика с новыми областями исследования, часть из которых была экспериментальной. Плодотворное сотрудничество, да и само присутствие коллеги помогли Гауссу пережить этот тяжелый период. Он всегда интересовался физикой, но многие его исследования, исключая сделанные в области астрономии и геодезии, носили сугубо теоретический характер. Прежде чем познакомиться с Вебером, Гаусс занялся вариационным исчислением, которое было одной из центральных тем XVIII века. Оно может быть рассмотрено как математическая задача, но является базовым для многих задач физики. Вариационные задачи — это задачи на оптимизацию, в них речь идет о нахождении лучшего значения, но здесь оптимум — это не значение, а функция. Мы привыкли рассматривать задачи на оптимизацию, которые математически формулируются как: Min: ?(х) а:х е S, где S — множество значений, между которыми мы можем искать решение, что называется допустимым множеством. Функция ? также называется целевой функцией. С математической точки зрения не существует никакой разницы, заключается задача в максимизации или минимизации, поскольку можно совершить замену, всего лишь изменив знак целевой функции, так что следующая проблема равносильна предыдущей: Min: -?(х) а:х е S, В зависимости от типа функции ? и свойств допустимого множества у нас получится тот или иной тип задачи. Решение этого типа задач может быть как числом, так и вектором (рядом), в случае функции, определенной в пространстве с несколькими измерениями. — 71 —
|