|
Учесть фактор непрерывности постоянного потока платежей можно двояким путем. Во-первых, путем переноса момента платежа на середину интервала, а во-вторых, с помощью коэффициентов приведения и наращения непрерывной переменной ренты (доказательства последних приведены в § 5.5). Оба подхода дают практически одинаковые результаты для постоянного и линейно изменяющегося потоков.
ПРИМЕР 3 Определим только доходную часть чистого приведенного дохода инвестиционного проекта, согласно которому ожидаются ежегодные поступления в размере 100 ед. в течение 10 лет. Поступления в пределах года постоянны. Дисконтирование осуществляется по процентной ставке i = 10%, соответственно сила роста = ln1,1 = 0,0953102. Точное значение искомой величины современной стоимости находим, применив непрерывный коэффициент приведения: = 644,692. При переносе момента платежа в середину каждого года потока получим = 644,448. Однако если еще более упростить расчет и перенести общую сумму поступлений (1000 ед.) в середину всего срока поступлений, то получим всего 1000 х 1,1-5 = 620,921. Ошибка, как видим, существенна. При линейном изменении членов потока платежей ("треугольное" распределение платежей во времени) последние Рис. 5.2 определяются следующим образом (смысл обозначений легко понять из рис. 5.2): ; (5.11) Rn = R0+ nR, где R — ежегодный прирост членов потока. В общем виде современная стоимость непрерывного потока платежей находится так: , (5.12) где — сила роста, е — основание натурального логарифма. Подставив в эту функцию величину Rt получим (доказательство см. в § 5.5): , (5.13) где — коэффициент приведения непрерывной ренты. Первое слагаемое равно современной стоимости постоянного потока с доходом в единицу времени, равным R0. Второе слагаемое соответствует современной стоимости "треугольного" потока платежей.
ПРИМЕР 4 Найдем современную стоимость ожидаемого потока доходов. Последний состоит из трех периодов. В первом (3 года освоения) отдача ежегодно увеличивается на 100 ед., причем в первом году (уровень на начало года) доход равен 200 ед. Во втором периоде (10 лет) доход стабилен — ежегодно по 600 ед., в последнем (3 года) доход ежегодно уменьшается на 200 ед. Во всех периодах доход поступает непрерывно. Дисконтирование осуществляется по ставке 10% годовых (дискретных). Для первого периода воспользуемся формулой (5.13). Таким образом, современная стоимость доходов в первом периоде составит: A1 =. Находим: = ln 1,1 = 0,09531; e-ln 1,l x 3 = 0,75131; = 2,60922. — 59 —
|