Паутина жизни

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

Рис. 6-16 Числовая ось

С таким расширением понятия числа все алгебраические уравнения, в принципе, могли быть решены — за исключением тех, где фигурировали квадратные корни отрицательных чисел. Уравнение х2 = 4 имеет два решения: х = 2 и х = -2; однако для х2 = -4, по всей видимости, не должно быть решения, поскольку ни +2, ни - 2 при возведении в квадрат не дадут -4.

Древние индийские и арабские алгебраисты постоянно встречались с такими уравнениями, но отказывались даже записывать выражения типа , считая их абсолютно бессмысленными. И только в XVI веке квадратные корни отрицательных чисел стали появляться в алгебраических текстах, но и тогда авторы спешили пояснить, что такие выражения на самом деле ничего не означают.

Декарт называл квадратный корень отрицательного числа «мнимым числом» и был уверен, что появление таких мнимых чисел в расчетах означает, что проблема неразрешима. Другие математики использовали термины «фиктивные», «фальшивые» или «невозможные» для обозначения величин, которые сегодня мы, с легкой руки Декарта, все еще называем мнимыми числами.

Поскольку квадратный корень отрицательного числа не может быть помещен ни в одной точке числовой оси, математики, вплоть до XIX столетия, не могли наделить эти величины никаким реальным смыслом. Великий Лейбниц, изобретатель дифференциального исчисления, приписывал выражению мистические свойства, видя в нем проявление Божественного Духа и называя его «этой амфибией между бытием и небытием»29. Столетие спустя Леонард Эйлер, самый плодотворный математик всех времен, выразил ту же мысль в своей «Алгебре» словами хотя и менее поэтичными, но все же содержащими отголосок Чуда:

Следовательно, все такие выражения, как , и т. п., есть невозможные, или мнимые числа, поскольку представляют корни отрицательных величин; по поводу таких чисел мы можем достоверно утверждать, что они ни ничто, ни нечто большее, чем ничто, ни нечто меньшее, чем ничто, из чего неизбежно следует, что они мнимы, или невозможны30.

В XIX веке другой математический гений, Карл Фридрих Гаусс, окончательно и твердо провозгласил, что «этим мнимым сущностям может быть приписано объективное бытие»31. Гаусс, конечно, понимал, что мнимым числам не найдется места на числовой оси, а поэтому он попросту поместил их на перпендикулярную ось, которую провел через нулевую точку основной оси, построив таким образом декартову систему координат. В этой системе все действительные числа располагаются на действительной оси, а все мнимые числа — на мнимой оси (рис. 6-17 называется мнимой единицей и обозначается символом i. А поскольку любой квадратный корень отрицательного числа всегда может быть представлен как = = i, то все мнимые числа можно расположить на мнимой оси как кратные »'.