Паутина жизни

Еще одна важная связь между теорией хаоса и фрактальной геометрией проявилась в переходе от количества к качеству. Как мы видели, невозможно предсказать значения переменных хаотической системы в определенный момент времени, но можно предсказать качественные особенности поведения системы. Точно так же, невозможно вычислить длину или площадь фрактальной формы, однако можно — качественным способом — определить степень ее изрезанности.

Мандельбро подчеркнул эту существенную особенность фрактальных форм, задав провоцирующий вопрос: какова протяженность побережья Британии? Он показал, что, поскольку измеряемую длину можно растягивать до бесконечности, переходя ко все более мелкому масштабу, на этот вопрос нет однозначного ответа. Зато можно определить число в диапазоне от 1 до 2, которое характеризует изрезанность побережья. Для британского побережья это число равно около 1,58; для более изрезанного норвежского берега оно близко к 1,7027.

Поскольку можно показать, что это число имеет определенные свойства размерности, Мандельбро назвал его фрактальной размерностью. Мы можем понять эту идею интуитивно, зная, что извилистая линия занимает больше пространства на плоскости, чем одномерная гладкая линия, но меньше, чем сама двухмерная плоскость. Чем больше изрезана линия, тем ближе к числу 2 ее фрактальная размерность. Подобным же образом, скомканный лист бумаги занимает больше пространства, чем плоскость, но меньше, чем сфера. Таким образом, чем плотнее скомкана бумага, тем ближе к числу 3 будет ее фрактальная размерность.

Концепция фрактальной размерности, изначально появившаяся как чисто абстрактная математическая идея, превратилась со временем в мощный инструмент анализа сложности фрактальных форм, поскольку замечательно соответствует нашему жизненному опыту. Чем более изрезаны очертания молнии или границы облаков, чем менее сглажены формы побережий или гор, тем выше их фрактальные размерности. Чтобы смоделировать фрактальные формы, встречающиеся в природе, можно сконструировать геометрические фигуры, обладающие точным самоподобием. Основным методом для построения таких математических фракталов служит итерация, т. е. многократное повторение определенной геометрической операции. Процесс итерации, который привел нас к преобразованию пекаря — математической операции, лежащей в основе странных аттракторов, — оказался, таким образом, главной математической особенностью, объединяющей теорию хаоса с фрактальной геометрией.

Одной из простейших фрактальных форм, производимых итерацией, является так называемая кривая Коха, или «кривая снежинки»27. Геометрическая операция заключается в том, чтобы разбить отрезок линии на три равные части и затем заменить центральную секцию двумя сторонами равностороннего треугольника, как показано на рис. 6-12. Повторение этой операции во все более мелких масштабах приводит к появлению кружевной снежинки (рис. 6-13). Как и в случае с изрезанной береговой линией, кривая Коха становится бесконечно длинной, если итерация продолжается бесконечно. В сущности, кривую Коха можно рассматривать как очень грубую модель береговой линии (рис. 6-14).