Паутина жизни

Недавно в одной из бесед Мандельбро пояснил, что фрактальная геометрия имеет дело с тем аспектом Природы, который каждому известен, но который никто еще не смог описать в формальных математических терминах24. Некоторые природные характеристики геометричны в традиционном смысле. Ствол дерева более или менее подобен цилиндру; полная Луна более или менее напоминает круглый диск; планеты движутся вокруг Солнца по более или менее эллиптическим траекториям. Однако это исключения, и Мандельбро напоминает нам:

Чаще всего природа в высшей степени сложна. Как описать облако? Облако — это не сфера... Оно похоже на мяч, но очень неупорядоченно. А гора? Гора — не конус... Если вы хотите говорить о горах, реках, молнии, геометрический школьный язык оказывается совершенно неадекватным.

И Мандельбро создал фрактальную геометрию — «язык, на котором можно говорить об облаках», — чтобы описывать и анализировать сложность нерегулярных форм в окружающем нас мире природы.

Наиболее поразительное свойство этих «фрактальных» форм заключается в том, что их характерные паттерны многократно повторяются на нисходящих уровнях так, что их части на любом уровне по форме напоминают целое. Мандельбро иллюстрирует это свойство самоподобия, отламывая кусочек цветной капусты и указывая на то, что сам по себе кусочек выглядит как маленький кочан цветной капусты25. Он продолжает демонстрацию, деля часть дальше, изымая еще один кусочек, который тоже выглядит как очень маленький кочан. Таким образом, каждая часть выглядит как целый овощ. Форма целого подобна самой себе на всех уровнях выбранного диапазона.

В природе встречается множество других примеров самоподобия. Камни в горах напоминают маленькие горы; ответвления молнии или края облаков снова и снова повторяют один и тот же паттерн; побережье моря можно делить на все более мелкие части, и в каждой из них будут проявляться подобные друг другу очертания береговой линии. Фотографии дельты реки, кроны дерева или ветвления кровеносных сосудов могут проявлять паттерны такого разительного сходства, что мы порой не можем отличить один от другого. Подобие образов совершенно различных масштабов было известно очень давно, но до Мандельбро никто не владел математическим языком для описания этого явления.

Когда в середине 70-х Мандельбро опубликовал свою новаторскую книгу, он еще сам не догадывался о связи между фрактальной геометрией и теорией хаоса, но ему и его коллегам-математикам не понадобилось много времени, чтобы обнаружить, что странные аттракторы могут служить изысканнейшими примерами фракталов. Если части их структуры увеличить, то обнаруживается многослойная субструктура, в которой вновь и вновь повторяются одни и те же паттерны. В связи с этим странные аттракторы стали определять как траектории в фазовом пространстве, в которых проявляются черты фрактальной геометрии.