Закрученные пассажи

Заметим, что сферическую оболочку, нарисованную на любом расстоянии независимо от того, далеко она или близко от центра, пересекает одно и то же число силовых линий (центральный и правый рисунки на рис. 22). Число силовых линий никогда не меняется. Но так как силовые линии распределены по всем точкам поверхности сферы, сила на большем расстоянии неизбежно меньше. Точный коэффициент ослабления определяется количественной мерой того, насколько широко расставлены силовые линии на любом заданном расстоянии.

На любом расстоянии от массы через сферическую поверхность проходит фиксированное число силовых линий. Площадь этой сферической поверхности пропорциональна квадрату ее радиуса, т. е. равна некоторому числу, умноженному на квадрат радиуса. Так как по поверхности сферы распределено фиксированное число гравитационных силовых линий, сила тяготения должна уменьшаться обратно пропорционально квадрату радиуса. Это распределение гравитационного поля и есть причина закона обратных квадратов для тяготения.

Закон Ньютона в случае компактных измерений

Итак, теперь мы знаем, что в трех измерениях тяготение должно подчиняться закону обратных квадратов. Обратим внимание, что доказательство, как кажется, критически зависит от того факта, что существуют три пространственных измерения. Если бы было только два измерения, тяготение распространялось бы только по окружности, и сила тяготения уменьшалась бы не так сильно с расстоянием. Если число измерений было бы больше трех, площадь поверхности гиперсферы росла бы значительно быстрее с ростом расстояния между планетой и ее луной, так что сила убывала бы значительно быстрее. Похоже, что только три пространственных измерения приводят к зависимости от расстояния в виде закона обратных квадратов. Но если это так, как могут теории с дополнительными измерениями требовать выполнения ньютоновского закона обратных квадратов для тяготения?

Очень интересно видеть, каким образом компактифицированные измерения разрешают этот потенциальный конфликт. Суть рассуждений состоит в том, что силовые линии не могут распространяться на произвольное расстояние по компактным измерениям, так как они имеют конечный размер. Хотя силовые линии изначально расходятся по всем измерениям, после того, как они выйдут за пределы размеров дополнительных измерений, им не останется ничего иного, кроме как распространяться в направлениях бесконечных измерений.

Это опять может быть проиллюстрировано примером со шлангом. Представьте, что вода поступает в шланг через маленький прокол в крышке, прикрывающей конец шланга (рис. 23). Устремившаяся через прокол вода не сразу потечет вдоль по шлангу, а сначала распределится по всему сечению трубки. Тем не менее, поливая наш цветок из другого конца шланга, мы ясно понимаем, что способ, каким вода поступает в шланг, не имеет для нас никакого значения. Хотя вода и распределится вначале по более чем одному направлению, она быстро достигнет внутренней поверхности шланга и потечет далее так, как будто существует только одно направление. По существу, именно это происходит с гравитационными силовыми линиями в малых компактифицированных измерениях.